Podemos demostrar el recíproco del algoritmo de la división?

Question

La División de Alogrithm estados que $\forall a, b \in \mathbb{N}$ donde $b \neq 0, \exists q,r\in \mathbb{N}$ tal que $a=qb+r$$0 \leq r \lt b$.

Quiero comprobar si es cierto que $\forall q,r\in \mathbb{N}$, $\exists a, b \in \mathbb{N}$ tal que $a=qb+r$$0 \leq r \lt b$.

Siguiente, Estoy interesado en el caso de que $b$ es un número primo y $a$ es cualquier número natural, si la afirmación es verdadera, es decir,

$\forall q,r\in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{P},\exists a \in \mathbb{N}$, de tal manera que $a=qb+r$$0 \leq r \lt b$.

Por último,

Estoy interesada en saber si $\forall r\in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{P},\exists a,q \in \mathbb{N}$, de tal manera que $a=qb+r$ $0 \leq r \lt b$

Answer 1

La primera afirmación es verdadera, sólo puede elegir cualquier $b>r$ y elija $a=bq+r$.

Si usted supone que $r<b$, luego de la segunda reclamación, tiene demasiado ya que se puede, de nuevo escribo $a=bq+r$ porque $bq+r \in \mathbb N$ claramente.

Para el tercero, uno, considere la posibilidad de $a-r$, entonces siempre se puede encontrar un adecuado $a$ tal que $b$ divide $a-r$ gracias al primer descomposición, por lo tanto, existe una $q$, tal que:

$a=bq+r$

Answer 2

La primera afirmación es verdadera. Dado $r,q \in \mathbb{N}$, acaba de elegir a $b > r$ y, a continuación, elija $a$ a ser igual a $bq + r$.

Los dos siguientes son ambos falsos. Dado $r,b \in \mathbb{N}$ si $r > b$, entonces esto no puede ser cierto.

En caso de que usted asuma $r < b$, que en todos los casos, siempre que se les de $b,q,r \in \mathbb{N}$, usted es libre de elegir a $a$ a la igualdad de $bq+r$, y por lo tanto las afirmaciones son verdaderas.

Answer 3

Una distinción importante es que para $a,b$ $a = qb + r; 0 \le r < b$ $q$ $r$ son únicos.

Para $q,r$ deje $b$ cualquier $b > r$ a continuación, vamos a $a = qb +r$ $a$ es dependiente de la $b$, que puede ser cualquier valor en la satisfacción de un muy débil condición; $a,b$ están lejos de ser único.

La siguiente instrucción es extraño dijo: Usted dice que para cualquier prime $b$ pero, a continuación, reclamar $r < b$. Bueno, obviamente no es cierto para cualquier $r$ , y para TODOS los prime $b$ que $b > r$. Simplemente deje $r = 10$$b = 2,3,5,7 \le r$.

Pero para cualquier $q,r$ y cualquier prime $b$, de modo que $b > r$ podemos simplemente dejar que $a = qb + r$ encontrar un número.

Por lo $\forall q,r$ $\forall$ primer $b > r$$\exists a$, de modo que $a = qb + r$.

La última es exactamente el mismo que el tercero, excepto con las etiquetas "b" y "p" al revés. Las etiquetas son sólo etiquetas. Es cierto es tan largo como usted requiere que $b > r$.