P: Vamos a las filas de $A \in M_{n \hspace{1mm}\mathbb x \hspace{1mm}n }$($\mathbb F)$ ser $a_1,a_2,...,a_n$, y deje $B$ ser la matriz en la que las filas se $a_n,a_{n-1} ,...,a_1$. Calcular el $\det(B)$ en términos de $\det(A)$.
R: $\det(B) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\det(A)$.
Pensé en la aplicación de la fila de intercambio pero, al hacerlo, no veo cómo puedo derivar te resultado deseado como se indica más arriba. Cualquier sugerencia en cuanto a cómo me puede acercarse a esta pregunta?
Consigue $B$ mediante el intercambio de fila $1$ fila $n$ fila $2$ fila $n-1$ y así sucesivamente.
Si $n$ es incluso, do $n/2$ swaps; si $n$ es extraña, do $(n-1)/2$ swaps.
Ahora, si $n=2k$ es incluso, $$ (-1)^{n/2}=(-1)^k, \qquad (-1)^{n(n-1)/2}=((-1)^{k})^{2k-1}=(-1)^k $$ debido a $2k-1$ es impar.
Hacer lo mismo para el caso de $n=2k+1$.
Hay otra manera de ver. Iniciar el intercambio de fila 1 fila 2; el de la fila 2 con la fila 3 y así sucesivamente hasta llegar $$ \begin{bmatrix} a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \\ a_1 \end{bmatrix} $$ Esto requiere de $n$ swaps. Ahora $n-1$ intercambios son necesarios para empujar $a_2$ justo por encima de $a_1$, $n-2$ a empujar hacia abajo $a_3$, y así sucesivamente. En total $$ n+(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2} $$ los swaps.
Fila de intercambio, simplemente agrega un factor de $-1$. Cuántos fila intercambios son necesarios para transformar $A$$B$? El primer intercambio de da: $$a_n, a_2, \ldots a_{n-1}, a_1$$ El segundo intercambio, podrá alternar entre la segunda y la segunda a la última, etc.
Todos en todos, necesitaría $\lfloor n/2 \rfloor$ intercambios. Ahora, sólo tenemos que demostrar que: $$(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} = (-1)^\frac{n(n-1)}{2}$$ Lo que puede ser demostrado fácilmente considerando los cuatro casos para $n\bmod4$.
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