Los números complejos como cociente de $\prod_{p\in\mathcal{P}}\bar{\mathbb{F}}_p$

Question

Vi el siguiente problema propuesto en un abrir notebook de mi instituto.

Vamos a denotar $\mathcal{P}$ en el conjunto del primer ideales y $\bar{\mathbb{F}}_p$ algebraica de cierre de $\mathbb{F}_p$.

En el anillo de $\displaystyle \prod_{p\in\mathcal{P}}\bar{\mathbb{F}}_p$ lo considera un ideal maximal $M$ que contiene el ideal de elementos $(a_p)_{p\in\mathcal{P}}$ que $0$ para todos, pero un número finito de $p$. Demostrar que $\displaystyle \prod_{p\in\mathcal{P}}\bar{\mathbb{F}}_p/M\cong \mathbb{C}$

No he sido capaz de solucionarlo y estoy interesado en ver una solución. Cualquier comentario sobre el origen o las implicaciones del problema será bienvenida.

Answer 1

Un campo es un ultraproduct de los campos $(\overline{\mathbb{F}}_p)_{p\in \mathcal{P}}$ por un no-director de ultrafilter. Así que usted puede argumentar de la siguiente manera:

1. Demostrar que cualquier ideal maximal en el producto anillo tiene la forma $M_\mathcal{U} = \{(a_p)_{p\in \mathcal{P}}\mid a_p = 0\text{ for all } p\in \mathcal{U}\}$ donde $\mathcal{U}$ es un ultrafilter en $\mathcal{P}$, y la condición de sobre que contiene el finito apoyo ideal es equivalente a $\mathcal{U}$ no principal.

2. Comprobar que el cociente $\prod_{p\in \mathcal{P}}\overline{\mathbb{F}}_p/M_{\mathcal{U}}$ es el mismo que el ultraproduct $\prod_{p\in \mathcal{P}}\overline{\mathbb{F}}_p/\mathcal{U}$.

3. Por Łos del Teorema, la ultraproduct es algebraicamente cerrado campo de la característica $0$.

4. Se desprende de la Steinitz clasificación de algebraicamente cerrado campos por sus características y trascendencia grado que $\mathbb{C}$ es el único algebraicamente cerrado campo de la característica $0$ del tamaño de la $2^{\aleph_0}$ hasta isomorfismo.

5. Así que puede acabar con el hecho de que un ultraproduct de estructuras contables por parte de un no-director de ultrafilter en una contables conjunto siempre tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$.

Sin duda que es posible dar un argumento que se ve más como el álgebra y menos como la lógica en este caso. Pero el punto es que una vez que esté familiarizado con estos hechos, desde la lógica, el resultado es bastante inmediata.

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Edit: Dar más detalles en el punto 5. como se pide en los comentarios. La tarea básica es encontrar un continuum de tamaño de la familia de funciones de $(f_\alpha\colon I\to J)_{\alpha\in 2^{\aleph_0}}$ donde $I$ $J$ son numerables de conjuntos, de tal manera que si $\alpha\neq \beta$, $\{i\in I\mid f_\alpha(i) = f_\beta(i)\}$ es finito. A continuación, poner $\mathcal{P}$ en bijection con $I$ y cada una de las $\overline{\mathbb{F}}_p$ en bijection con $J$, nuestras funciones $f_\alpha$ se convierten en elementos distintos de la ultraproduct.

Y hay un buen truco para solucionar este problema: Tome $I = \mathbb{N}$$J = \mathbb{Q}$. Para cada una de las $r\in \mathbb{R}$, vamos a $f_r\colon \mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ ser una secuencia de números racionales convergentes a $r$. Luego, cuando $r\neq s$, $f_r(n)\neq f_s(n)$ por lo suficientemente grande como $n$.

Para obtener más información sobre las cardinalidades de ultraproducts, no es un clásico de papel por Keisler.