¿Cuál es la categoría teórica de la existencia de la prueba, y el nombre, para este morfismos?

Question

En primer lugar, supongamos que el $i:K \hookrightarrow M$ es una inserción en el hormigón categoría $\mathcal{C}$, y de que tenemos algunos de morfismos $f:T \to M$ tal que $f(T) \subseteq K \subseteq M$. A mí me parece evidente (a partir de las definiciones estándar de la función, subconjunto, de inserción, etc.) que hay un morfismos $g:T \to K$ tal que $i \circ g = f$, la única diferencia entre el $f$ $g$ que $\mathrm{cod}(f) = M$ mientras $\mathrm{cod}(g) = K$. Pero, ¿cómo demostrar la existencia de $g$ categóricamente? (Me imagino que la clave de esto se encuentra en la fundición de las definiciones de inserción y $f(T) \subseteq K$ categórica lengua). ¿Cómo sería la declaración del teorema tiene que ser cambiado, de manera que para cualquier categoría? (E. g. Me imagino que $i:K \to M$ podría ser descrito como un mero monomorphism, en lugar de una inserción.)

Segundo, ¿qué hace una llamada a una función como $g$, la cual difiere de otra función $f$ en codominio sólo? Hay una categoría general teórico-nombre para la relación entre los morfismos $g$ $f$ en este ejemplo?

(Esto me recuerda a cómo se obtiene una función de $h|_Y$ por la restricción de la función de $h$ a algún subconjunto $Y$$\mathrm{dom}(h)$. Aquí, en cambio, quiero "restringir" el codominio.)

Gracias!

PS: he estado estudiando un poco de CT en mi tiempo libre durante algunas semanas: IOW, soy un rango de noob! Yo sé lo que (co)los productos son, y tienen una muy confusa la comprensión de pullbacks/pushouts y (co)límites...

Answer 1

El concepto que usted necesita es la imagen de una flecha $f : T \to M$. Se define por la obvia universal de los bienes: un monomorphism $\operatorname{im} f : H \rightarrowtail M$ es la imagen de $f$ sólo si hay una flecha $c : T \to H$ tal que $f = (\operatorname{im} f) \circ c$, y para todos los morfismos $g : T \to K$ y cada monomorphism $h : K \to M$ tal que $f = h \circ g$, no es necesariamente único) flecha $k : H \to K$ tal que $g = k \circ c$$\operatorname{im} f = h \circ k$.

Ejercicio. Mostrar que $\operatorname{im} f$ es único hasta un único isomorfismo.

El problema es que $\operatorname{im} f$ como se definió anteriormente es no garantiza que existe a menos que la categoría es bastante bonito. Esto sucede, por ejemplo, cuando la categoría es un topos o un abelian categoría.

Una vez que hemos $\operatorname{im} f$, es claro que, ¿cómo podemos obtener el $g : T \to K$ $i : K \rightarrowtail M$ y el hecho de que tenemos un monomorphism $m: H \rightarrowtail K$ (es decir, el testimonio de la inclusión $H \subseteq K$) - tomamos el compuesto $m \circ c$.

Un concepto relacionado es el de la regular coimage. Esto tiene sentido en cualquier categoría con límites finitos y colimits. En primer lugar, tomamos el pullback de $f$ a lo largo de $f$ para obtener el kernel par $p_1, p_2 : S \to T$. (Por ejemplo, en la categoría de conjuntos, $S = \{ (t_1, t_2) \in T \times T : f(t_1) = f(t_2) \}$.) El regular coimage de $f$ es el coequaliser $e : T \to H$$p_1$$p_2$. Aviso que desde $f \circ p_1 = f \circ p_2$, debe haber una flecha $m : H \to M$ tal que $f = m \circ e$. En cualquier categoría regular (por ejemplo, un topos o un abelian categoría) esta $m$ también será la imagen en el sentido definido anteriormente.

No sé de un nombre para el fenómeno en el que dos flechas difieren solamente en el codominio'. Pero es bastante fácil de formular esta categóricamente: esto sucede cuando el (regular) coimage de las dos flechas son isomorfos.