Integral definida de la función inversa.

Question

La tarea es:$$\int_{\sqrt(\pi/6)}^{\sqrt(\pi/3)}\sin(x^2)dx + \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\sqrt{\arcsin x}dx$ $

Si decimos, que$f(x) = \sin(x^2)$, y$a = \sqrt(\pi/6)$,$b= \sqrt(\pi/3)$ entonces tenemos:

PS

Pero realmente no sé qué hacer con este conocimiento.

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Tu segunda forma es bastante sugerente. Realmente tienes dos opciones aquí:

1. Haz un dibujo: traza$x$ contra$f(x)$, sombrea las áreas correspondientes a las integrales (sugerencia: busca el eje vertical para encontrar el$f^{-1}$ área), y luego quedas horrorizado cuando te des cuenta Qué trivial es la imagen.

2. Haga álgebra: sustituya en la segunda integral ($u=f^{-1}(x)$), e integre por partes.