Lanza una moneda 5 veces. Cuál es la probabilidad de que nunca salga cara dos veces seguidas?

Question

Supongamos que lanzo una moneda $5$ veces seguidas. Hay $2^5$ posibles resultados, es decir: HHHTH, HTTTT, HTHTH, etc. Quiero saber la probabilidad de que nunca salga cara dos veces seguidas.

Saqué $32$ eventos que pueden ocurrir, y descubrí que la respuesta era $\cfrac{13}{32}$ . Pero no estoy seguro de cómo hacer esto en general, porque digamos que si la moneda fue lanzada al aire $20$ veces seguidas, no escribiría $2^{20}$ posibilidades.

Gracias

Answer 1

Sea $a_n$ sea el número de secuencias de longitud $n$ que no contengan dos cabezas consecutivas.

Obsérvese que cualquier secuencia de caras y colas de longitud uno es admisible, ya que no podemos obtener dos caras seguidas. Por lo tanto, $a_1 = 2$ .

Cualquier secuencia de longitud dos es permisible excepto HH. Por lo tanto, $a_2 = 2^2 - 1 = 3$ .

Podemos escribir una relación de recurrencia para una secuencia de longitud $n$ . Una secuencia admisible de longitud $n$ que termina en cara debe tener una cruz en el $(n - 1)$ posición. Por lo tanto, cualquier secuencia de longitud $n$ que termina en cabezas corresponde a una secuencia admisible de longitud $n - 2$ a la que se añade la secuencia TH. Existen $a_{n - 2}$ tales secuencias. Una secuencia admisible de longitud $n$ que termina en cola es una secuencia admisible de longitud $n - 1$ a la que se añade una cola. Existen $a_{n - 1}$ tales secuencias. Por lo tanto, tenemos la relación de recurrencia $$a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}$$ Por lo tanto, el número de secuencias admisibles de longitud $n$ viene dada por la recursión \begin{align*} a_1 & = 2\\ a_2 & = 3\\ a_n & = a_{n - 1} + a_{n - 2}, n \geq 3 \end{align*} Observe que $a_3 = 5$ , $a_4 = 8$ y $a_5 = 13$ . Es posible que los reconozca como Números de Fibonaccci . En particular, $a_n = F_{n + 2}$ .

La probabilidad deseada es $$\frac{a_n}{2^n}$$

Answer 2

Sea $X_n$ denotan la afirmación "no hay dos cabezas consecutivas en $n$ lanzamientos de moneda", tal que queremos encontrar $P(X_n)$ (la probabilidad de $X_n$ ). Si lanzáramos la primera moneda y obtuviéramos cruz, entonces, dada esta información, nuestra probabilidad sería ahora $P(X_{n-1})$ (porque como la cola no afecta a la cantidad de cabezas, ahora sólo nos importa lo que pasa en el otro $n-1$ lanzamientos de moneda). Por otro lado, si lanzamos la primera moneda y obtenemos cara, podríamos tener uno de estos dos casos

1. la segunda moneda también sale cara, y nuestro objetivo ha fracasado
2. la segunda moneda es cruz, y ahora nuestra probabilidad de éxito se convierte en $P(X_{n-2})$ porque sólo nos importa lo que ocurre en la $n-2$ giros que no hemos observado

Estas observaciones pueden hacerse matemáticamente rigurosas utilizando la ley de la probabilidad total para establecer una recurrencia. $$P(X_n) = P(X_n\text{ given that the first toss is Tails})P(\text{first toss is tails}) + P(X_n\text{ given that first toss is heads})P(\text{first toss is heads})$$ Sabemos que $P(X_n\text{ given that the first toss is Tails}) = P(X_{n-1})$ por el argumento anterior, y $P(\text{first toss is tails}) = \frac{1}{2}$ . Todavía tenemos que trabajar un poco para encontrar $P(X_n\text{ given that first toss is heads})$ volvemos a utilizar la ley de la probabilidad total para dividirlo en los dos casos que he mencionado anteriormente. $$P(X_n\text{ given that first toss is heads}) = P(X_n\text{ given that first toss is heads and the second is heads})P(\text{second toss is heads}) + P(X_n\text{ given that first toss is heads and second is tails})P(\text{second toss is tails})$$ El primer término es $0$ porque si el primer y el segundo lanzamiento salen cara, hemos fallado en nuestro objetivo. El segundo término es $P(X_{n-2})(\frac{1}{2})$ porque ahora sólo nos importa el último $n-2$ en la secuencia. Sustituyendo en la ecuación original, $$P(X_n) = \frac{1}{2}P(X_{n-1}) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}P(X_{n-2})\right) = \frac{P(X_{n-1})}{2} + \frac{P(X_{n-2})}{4}$$

Puede resolver el problema general $n$ ¡caso utilizando esta recurrencia!

Por ejemplo, si realiza todos los casos de $n=2,3$ encontrará $P(X_2) = \frac{3}{4}$ y $P(X_3) = \frac{5}{8}$ . Entonces, según la fórmula, esto significaría $P(X_4) = \frac{1}{2}\frac{5}{8} + \frac{1}{4}\frac{3}{4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ que se puede comprobar manualmente es cierto para $n=4$ . Además, utilizando la fórmula se puede calcular $P(X_5) = \frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\frac{5}{8} = \frac{13}{32}$ que coincide con su respuesta.

Answer 3

La cabeza se representa por 0 y la cola por 1. Una secuencia de cabezas y colas puede representarse por un número binario.

Para 2 lanzamientos ( $n = 2$ ), las secuencias posibles son:

00
01
10
11

Existen $2^2$ secuencias posibles y, entre ellas, el número de secuencias en las que nunca sale cara dos veces seguidas es 3. Por lo tanto, para $n = 2$ la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas es $P_2=\frac{3}{4}$ .

Del mismo modo, para $n = 3$ las secuencias son:

000
001
010
011
100
101
110
111

También en este caso $2^3$ secuencias posibles en total, y 5 de ellas con cara nunca ocurren dos veces seguidas. Así que $P_3=\frac{5}{8}$ .

Para encontrar la fórmula general de cálculo $P_n$ hagamos la siguiente observación:

1. Al añadir un nuevo dígito más significativo para obtener los números binarios de $n$ dígitos, por ejemplo, para gastar los números de $n=2$ a $n=3$ arriba, hacemos 2 copias de todos los números binarios de $n-1$ dígitos, añada $0$ s a la izquierda de la copia superior y $1$ s a la copia inferior.
2. El cuarto superior de los nuevos números binarios tiene todos dos $0$ s al principio.
3. El segundo cuarto de los nuevos números binarios tiene el mismo número de secuencias, donde las cabezas nunca ocurren dos veces, que el de $n-2$ es decir $2^{n-2}P_{n-2}$ .
4. La mitad inferior de los nuevos números binarios tiene el mismo número de secuencias, en las que las cabezas nunca aparecen dos veces, que la de $n-1$ es decir $2^{n-1}P_{n-1}$ .

Basándonos en estas observaciones tenemos:

$$ P_n = \frac{2^{n-2}P_{n-2} + 2^{n-1}P_{n-1}}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}P_{n-2} + P_{n-1}}{2} $$

Utilizando esta fórmula recursiva, obtenemos: $$ P_4=\frac{\frac{1}{2}P_2+P_3}{2}=\frac{\frac{1}{2}\frac{3}{4}+\frac{5}{8}}{2}=\frac{1}{2} $$ $$ P_5=\frac{\frac{1}{2}P_3+P_4}{2}=\frac{\frac{1}{2}\frac{5}{8}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{13}{32} $$ $$ P_6=\frac{\frac{1}{2}P_4+P_5}{2}=\frac{\frac{1}{2}\frac{3}{4}+\frac{5}{8}}{2}=\frac{21}{64} $$

Answer 4

Estás lanzando una moneda f veces. Un resultado posible es una secuencia de caracteres, ya sea H o T. El número de secuencias binarias de longitud f es 2^f. La probabilidad de una secuencia de longitud f es 1/2^f, o 2^-f.

El número de secuencias con 2 cabezas seguidas es la mitad del número de secuencias con 2 (de cualquier cosa ) seguidos, dobles de cualquier tipo. Lo que deja la pregunta, ¿cuántas secuencias (de una longitud dada, f), no tienen dobles? Sólo 2: HTHTHT... y THTHTH...

Así que la probabilidad de que salga cara nunca dos veces, al lanzar una moneda $F$ veces, es el número de resultados posibles ( $2^F$ ) menos el número de secuencias (de esa longitud) que no tienen dobles ( $2$ ), dividido por $2$ porque sólo nos importa uno de los dos tipos de dobles: las cabezas.

P(HH | f voltea) = 1/2^(f-1)

TL;DR:

P(HH | moneda lanzada $f$ veces) = P(HH o TT | $f$ tiradas)/2 = 1-P(ni HH ni TT | f tiradas) = 1 - número de resultados sin dobles/número de resultados = 1-2/2^f = 1-1/2^(f-1) = 1/2-1/2^f. P(no HH) = 1 - P(HH) = 1/2^(f-1)

Forma alternativa de mostrar la P(sin dobles) : Cadenas de Markov. Después de lanzar la moneda una vez, la moneda o bien lee H o T. Hay una probabilidad de 1/2 que después de la próxima tirada se lee de la misma manera, lo que significa que la P(no dobles) se reduce a la mitad.

Las secuencias poseen un estado: o contienen un doble (HH o TT) o no lo contienen. Pueden pasar de no tener dobles a tenerlos, pero no viceversa.

La probabilidad de que todas las secuencias que no contienen dobles contengan dobles después de otro lanzamiento es 1/2.

Así que después de voltearlo una vez, tienes H o T. P(sin dobles) = 1. Lo volteas de nuevo, HH, HT, TH, o TT. P(sin dobles) = 1/2. Otra vez: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT. P(sin dobles) = 1/4.

Dado que P(no dobles) se reduce a la mitad con cada tirada, y es 1 cuando tiradas = 0, P(no dobles) = (1/2)^(f-1).