Por favor, ayúdame a responder el siguiente problema:
Deje$F$ un campo.
Demuestre que si$m$ y$n$ son enteros primos relativamente, y$r,s\in F^{\times}$ satisface$r^m=s^n$ entonces hay$u,v\in F^{\times}$ tal que$r=u^n$ y$s=v^m$.
Gracias
Respuesta
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Encuentra$a,b\in\Bbb Z$ con$an+bm=1$, lo cual es posible porque$n$ y$m$ son coprime. Luego,$r^{1-an}=r^{bm}=s^{bn}$ para que obtengamos$r = s^{bn}r^{an} = (s^br^a)^n$. De manera similar,$s^{1-bm}=s^{an}=r^{am}$ así que$s=r^{am}s^{bm}=(r^as^b)^m$. Por lo tanto, puede seleccionar$u=s^br^a$ y$v=r^as^b$.
