Principio de Duhamel para la ecuación del calor.

Question

Una solución a la ecuación de calor no homogénea con $0$ datos iniciales es $u:\Bbb R^n\times [0,\infty)\to \Bbb R$ resolver $$\begin{align} \partial_t u(x,t) - \Delta_xu(x,t) &= f(x,t) \\ u(x,0) &\equiv 0. \end{align}$$ La regularidad de $f$ no se especifica por ahora.

Recordemos el núcleo de calor $\Phi(x,t)=\frac 1{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x|^2/4t}$ . El principio de Duhamel establece que $$ u(x,t)=\int_0^t\int_{\Bbb R^n} \Phi(x-y,t-s)f(y,s)dyds $$ resuelve nuestra ecuación.

En los libros que he leído, por ejemplo el PDE de Evans, asumen una condición bastante estricta sobre la regularidad de $f$ . Por ejemplo, en el libro de Evans asumió que $f\in C^2_1(\Bbb R^n\times[0,\infty))$ y tiene un soporte compacto. Entonces la prueba de que $u$ realmente resuelve la ecuación del calor o la suavidad de $u$ se muestra reescribiendo la fórmula como $$ u(x,t)=\int_0^t\int_{\Bbb R^n} \Phi(y,s)f(x-y,t-s)dyds $$ y diferenciar bajo signo integral, por ejemplo $$ \partial_t u(x,t)=\int_0^t\int_{\Bbb R^n} \Phi(y,s)\partial_t f(x-y,t-s)dyds+\int_{\Bbb R^n}\Phi(y,t)f(x-y,0)dy. $$ Para mostrar la suavidad de $u$ algunos incluso asumen $f$ para ser suave. No puedo evitar sentir que esto es un exceso masivo. Alguna condición de integrabilidad en $f$ debería ser suficiente.

¿Cuáles son las condiciones de integrabilidad razonables que podemos poner en $f$ para que $$ u(x,t)=\int_0^t\int_{\Bbb R^n} \Phi(x-y,t-s)f(y,s)dyds $$ ¿funciona? ¿Qué deberíamos imponer más para conseguir una mayor regularidad de $u$ ?

Por supuesto, si $f$ es realmente irregular no podemos esperar $u$ para ser regular. Sólo quiero saber qué grado de regularidad tenemos ganar del hecho de que $u$ resuelve la ecuación del calor.

Answer 1

En la Introducción a las EDP de Folland, el teorema 4.7 afirma que si $f\in L^1(\Bbb R^n\times\Bbb R)$ entonces $u$ es una solución en el sentido de la distribución. En una observación que sigue a la demostración del teorema, se afirma que si $f\in C^\alpha$ para algunos $\alpha>0$ entonces $u$ es una solución clásica. No se da ninguna prueba, sólo un comentario diciendo que la prueba es similar a la de un teorema anterior.