Confusión del producto de Kronecker y del producto exterior

Question

Tengo dos vectores columna:

\begin {Ecuación} u = \left [ \matrix { 1 \cr 2 \cr } \right ] \end {Ecuación}

\begin {Ecuación} v = \left [ \matrix { 4 \cr 4 \cr } \right ] \end {Ecuación}

Intento calcular el producto Kronecker de dos vectores $u \otimes v$ .

Según tengo entendido, el producto exterior de vectores es un caso especial del producto Kronecker de matrices.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product dice:

Si A es una matriz m × n y B es una matriz p × q, entonces el producto de Kronecker producto $A \otimes\ B$ es la matriz de bloques mp × nq.

http://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product dice:

Así será $u \otimes v$ ser de dimensión 4 × 1 (según la primera definición) o 2 × 2 (según la segunda definición)?

Answer 1

Este es un muy buen ejemplo de abuso de notación, más precisamente, de recarga de operador. En realidad, el operador $\otimes$ se suele utilizar como producto tensorial que es un operador bilineal. Es fácil comprobar que tanto el producto de Kronecker (denotado por $\otimes_K$ ) y el producto exterior (denotado por $\otimes_O$ ) son formas bilineales y especiales del producto tensorial. Por ejemplo, dados dos vectores $u,v\in V$ tenemos $$u\otimes_O v=u\otimes_Kv^H$$ Por eso la wiki dice que el producto exterior es un caso especial del producto Kronecter.

Answer 2

La relación entre el producto exterior $\circ$ y el producto de Kronecker $\otimes$ . $${\textbf{a}}_{I \times 1} \otimes {\textbf{b}}_{J \times 1} = vec(({\textbf{a}}\circ {\textbf{b}})^T) = vec(({\textbf{a}}{\textbf{b}^T}_{I \times J})^T_{J \times I})_{JI \times 1}$$

Antes de tomar la vectorización debe hacer una transposición.

En el caso de 3 vectores, la matriz resultante, como antes, se multiplica por cada entrada del vector c y cada resultado es un corte frontal de un tensor. Obsérvese que $.*$ es un producto por elementos entre cada elemento de $\textbf{c}$ y la matriz resultante de $(\textbf{a} \circ \textbf{b})$ y no el producto de elementos entre todo el vector $\textbf{c}$ y $(\textbf{a} \circ \textbf{b})$ . $${\textbf{a}}_{I \times 1} \otimes {\textbf{b}}_{J \times 1} \otimes {\textbf{c}}_{K \times 1} = vec(( ({\textbf{a}}\circ {\textbf{b}}) .* {\textbf{c}})^T_{I \times J \times K})_{IJK \times 1}$$

Producto exterior entre 2, cada uno de 2 dimensiones entonces el resultado sería un tensor de 4 dimensiones que es totalmente diferente al producto kronecker

Producto Kronecker para matrices $${\textbf{A}}_{I \times R} \otimes {\textbf{B}}_{ J \times R} = {\textbf{D}}_{ IJ \times R^2}$$

$${\textbf{D}} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \textbf{a}_1 \otimes {\textbf{b}_1} & {\textbf{a}_1} \otimes {\textbf{b}_2} & \dots & \textbf{a}_1 \otimes {\textbf{b}_R} & \dots &\textbf{a}_R \otimes {\textbf{b}_R} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \end{bmatrix}$$

Producto exterior para matrices $$\textbf{A}_{I \times R_1} \circ \textbf{B}_{J \times R_2} = {\textbf{C}}_{I \times J \times R_1 \times R_2}$$ para mostrar cómo sería el resultado hay que hacerlo columna por columna producto exterior, $${\textbf{a}_1} \circ {\textbf{b}_1} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{x} & {\textbf{y}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix}, {\textbf{a}_1} \circ {\textbf{b}_2} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{m} & {\textbf{n}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix},{\textbf{a}_2} \circ {\textbf{b}_1} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{p} & {\textbf{q}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix},{\textbf{a}_2} \circ {\textbf{b}_2} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{j} & {\textbf{k}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix},$$

El resultado final sería, $${\textbf{C}}_{I \times J \times 1 \times 1} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{x} & {\textbf{p}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix}, {\textbf{C}}_{I \times J \times 2 \times 1} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{y} & {\textbf{q}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix}, {\textbf{C}}_{I \times J \times 1 \times 2} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{m} & {\textbf{k}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix}, {\textbf{C}}_{I \times J \times 2 \times 2} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ \textbf{n} & {\textbf{j}} \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix}$$