El orden de magnitud del número de irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ con la norma de seguridad de a $x$ es mayor, es:
$$\frac{x}{\log x} \log \log x$$
(Digo "orden de magnitud" como no estoy seguro acerca de la constante; sin embargo, es asintótica a este con algunas constantes.)
Sin embargo, tienes razón en que en la UFD caso siempre es asintótica
$$\frac{x}{\log x}$$
De manera más general, el recuento de irreducibles (sin tomar en cuenta la multiplicación por unidades) en la máxima orden de un campo de número de orden de magnitud:
$$\frac{x}{\log x} (\log \log x)^c$$
donde $c$ depende de la clase de grupo (no sólo el número de clase).
Específicamente es $c+1$ es el Davenport constante de la clase de grupo. En caso de que el grupo es cíclica, es decir que pasa a ser igual el orden, que es el número de clase, pero en general será menor.
(Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]$ podría no ser siempre la máxima orden de embargo. Pero resultados similares existe para cualquier orden.)
Para apreciar donde este puede provenir de, tenga en cuenta que lo más uniforme es el número del primer ideales. Uno tiene un total de alrededor de
$$\frac{x}{\log x }$$
y están distribuidos de manera uniforme sobre las clases.
Si usted tiene, por ejemplo, número de clase $2$, entonces usted puede tomar dos nonprincipal primer ideales $P_1, P_2$ decir de norma $\le \sqrt{x}$ y su producto será el principal ideal que es irreductible, como una entidad ideal y por lo tanto la generada por una irreductible.
O de otra manera, el número de irreducibles de norma $\le x$ es, al menos, el número de productos de dos nonprincipal ideales que la norma es $\le x$.
Y el recuento de los prime ideales es de hasta un constante como la de los números primos. Así que el recuento debe corresponder a la cantidad de números que son el producto de dos números primos. El recuento de los también (hasta un constante)
$$\frac{x}{\log x} \log \log x$$
Ver la página de la Wikipedia en casi primos.
Si usted tiene un caso más complejo de la clase de grupo que usted puede tener productos más complejos de nonprincipal primer ideal de que el rendimiento de una irreductible, y esto aumenta aún más el orden de magnitud, como el número de las que son producto de la en la mayoría de las $k$ de los números primos es
$$\frac{x}{\log x} (\log \log x)^{k-1}$$
El mencionado Davenport constante corresponde exactamente a la longitud máxima de un producto de primer ideales. Por lo tanto el poder de la $\log \log$ es uno menos que esta constante.
Un libro sobre la teoría algebraica de números que se ocupa de estas cosas es Narkiewicz "de la Primaria y de la Analítica de la Teoría de Números Algebraicos" (al menos en la 2ª y 3ª edición, pero es probable que te gustaría tener un tiempo más difícil para encontrar la 1ª edición de uno de esos, de todos modos).
Hay más variada literatura especializada.
