Número de saltos para llegar a un conjunto de Lebesgue medida positiva

Question

Una consecuencia del Ejercicio 1.1.19 en la página 13 de Stroock de la "Teoría de la Probabilidad: Una Vista de análisis" es que si un conjunto $E\subset[0,1)$ positivo (Lebesgue) medida para casi todas las $x\in[0,1)$, un número finito de lanzamientos de su binario de expansión se moverá $x$$E$. El ejercicio en Stroock sugiere el uso de la prueba de Kolmogorov 0-1 Ley, pero también puede ser también resultó medida teóricamente el uso de una cubierta abierta aproximación de $E$. He leído y lo hizo hace mucho tiempo, pero al pensar en algo más recientemente, me preguntaba

1. Dado un conjunto de medida positiva, ¿cuál es el número esperado de lanzamientos necesarios? (Ni idea.)
2. Es el valor esperado finito? (Yo así lo creo, pero no tengo una prueba.)

Incluso para un conjunto que es una unión finita de diádica intervalos, no es claro para mí lo que el valor esperado es. Por ejemplo, ¿cuál es el máximo del valor esperado más de la colección de $E\subset[0,1)$ que es una unión finita de diádica con un intervalo de medida de 0.5?

Agradecería si alguien me puede dar una referencia de si este es bien conocida o alguna sugerencia sobre cómo hacer esto si es razonablemente factible para alguien que sabe algo de teoría de la medida (es decir, en el nivel de Folland, Royden, o Rudin.)

Answer 1

El número esperado de lanzamientos pueden ser infinitas. Primero me muestran cómo hacer que sea más grande que cualquier número finito.

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Elegir un entero grande $n$. Divida $[0,1]$ a $2^n$ diadic intervalos, la cual hemos indexado por $W_n:=\{ 0, 1 \}^n$. Elija los números reales $\alpha < \beta$. Deje $X$ ser la unión de los diádica intervalos indexados por $w \in W_n$ para los que en la mayoría de las $n/2+ \alpha \sqrt{n}$ de las entradas de $w$ son uno y que $Y$ la correspondiente unión donde $w$ tiene , al menos, $n/2+\beta \sqrt{n}$ . Por el teorema central del límite, $|X|$ enfoques $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{- \infty}^{\alpha} e^{-2 x^2} dx>0$$n \to \infty$. También por el teorema del límite central, con una probabilidad de acercarse a $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{\beta}^{\infty} e^{-2 x^2} dx>0$, un elemento aleatorio de $[0,1]$ se encuentran en el $Y$. Para llegar desde $Y$ $X$requiere al menos $(\beta-\alpha) \sqrt{n}$ volteretas. La fijación de $\alpha$ $\beta$ y el envío de $n$ hasta el infinito, tenemos una familia de conjuntos cuya medida enfoques positivos límite, mientras que el número esperado de lanzamientos se extiende hacia el infinito. Esto también muestra que la expectativa de $\phi(\mbox{number of flips})$ $\infty$ si $\phi: \mathbb{Z}_{\geq 0} \to \mathbb{R}$ es cualquier función con $\lim_{t \to \infty} \phi(t)=\infty$.

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Ahora, para obtener un infinito de construcción. Utilizamos un "fat conjunto de cantor" de la construcción.

Elija una secuencia $\alpha_k$ aproxima a infinito lo suficientemente rápido que el $\prod_k \left(\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{- \infty}^{\alpha_k} e^{-2 x^2} dx \right) >0$. Elija una secuencia $\beta_k$$\beta_k > \alpha_k$. Elija $n_k$ suficientemente grande como para que $\sum \left ( (\beta_k-\alpha_k) \sqrt{n_k} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{\beta}^{\infty} e^{-2 x^2} dx \right)$ diverge, y también lo suficientemente grande como la del límite central aproximaciones son muy cercana a la correcta.

Deje $X$ el conjunto de los números reales en $[0,1]$ cuyo primer $n_1$ bits tienen en la mayoría de $n_1/2+\alpha_1 \sqrt{n_1}$ queridos y cuya próxima $n_2$ bits tienen en la mayoría de $n_2/2 + \alpha_2 \sqrt{n_2}$ bits, etcétera. Suponiendo que se incluyen un número si cualquiera de sus dos representaciones binarias son como se especifica, este es un punto de intersección de cerrados, por lo tanto cerrado. La medida es mayor que $0$ por la condición en la que el producto es $>1$; el número esperado de lanzamientos es infinita por la condición de que la suma es $\infty$.