Entender cómo se desarrolló una prueba.

Question

Básicamente, mi pregunta es acerca de los métodos de abordaje de una determinada prueba. Permítanme elaborar sobre esto con un ejemplo.

La proposición: Supongamos $a$ y $b$ $\in R$ y $a < b$. Hay siempre un número racional, decir $x$, en el rango de $a < x < b$.

Prueba: Eligió N $\in N$ lo suficientemente grande que $\frac{1}{N} < (b-a)$. Eligió el menor entero $z$ tal que $b$N $\leq z$. $z$ siendo el menos entero, $(z-1) < b$N. por Lo tanto $\frac{(z-1)}{N} < b$. A partir de entonces, la prueba se aplica a algunos desigualdad, la manipulación de mostrar que este número es también mayor que $a$. En este paso, podemos concluir señalando que, a $\frac{(z-1)}{N}$ es un número racional.

Ahora he elegido este ejemplo porque es simple, pero las siguientes cosas que voy a decir pestes de mí en la mayoría de los análisis de las pruebas, desde que empecé a estudiar. Considero que una prueba entendido, si estoy totalmente de puede ver cómo el matemático podría haber llegado con la prueba. Aquí, por ejemplo, me tomó un montón de tiempo para hacer sentido de por qué se optó N de tal manera. La verificación de los pasos deductivos es fácil la mayoría del tiempo, pero el descubrimiento de la intención detrás de cada paso lleva bastante tiempo. El estudio riguroso análisis real por primera vez, siento que mi acercamiento a la comprensión de las pruebas me hace perder mucho tiempo.

Debo descremada más rápido y saltar más detalles en primera lectura, debo abandonar mi obsesión con justificando cada paso? Yo esperaba que el estudio riguroso de las matemáticas, a tomar más tiempo, a continuación, mi pasado, ingeniería y matemáticas esfuerzos, pero esto se siente doloroso a veces y hace que usted se siente como dar para arriba. Hay un libro que enseña las habilidades necesarias, si es que existen tales habilidades, para descubrir la intención detrás de las pruebas?

Answer 1

Cuando estás leyendo una prueba, sólo lo estás viendo el producto terminado---la única norma es que cada paso es, lógicamente, es cierto, no lo que es intuitivamente obvio donde cada valor viene (aunque con una buena exposición puede ayudar!). Lo que falta es que hay un montón de arañazos trabajo antes de una prueba formal que está escrito, a menudo trabajando hacia atrás a partir de la conclusión. Usando tu ejemplo, mi scratch de trabajo / proceso de pensamiento sería algo como:

• Desea: $a < p/N < b$. Multiplicar por $N$ obtener $a N < p < bN$.
• Desde $p$ $N$ son enteros, tenemos que escoger a $N$ lo suficientemente grande como para que $bN - aN > 1$ para $p$ a existir (se necesita una lo suficientemente grande "brecha" para incluir un número entero). Desde $b>a$, lo que significa que tenemos $N > \frac{1}{b-a}$. Equivalentemente, $\frac{1}{N} < b-a$. Por simplicidad, tomar el más pequeño de tales entero para $N$.
• Ahora que tenemos $N$, ¿cómo podemos construir $p$? Etc.
• Alternativamente, usted puede imaginar todas las $N$-ádico racionales $\{ p/N ~:~ p \in \mathbb{Z} \}$ y pensar en aumentar $N$ (disminución de la distancia) hasta que uno de ellos debe caer en la entre $a$$b$. En orden para que esto suceda, la distancia entre pares consecutivos debe ser lo suficientemente pequeño. Etc.

Tenga en cuenta que esta cadena de razonamiento se no constituyen una prueba formal---empezamos por asumir nuestra conclusión y observaciones formuladas a partir de ahí. Sin embargo, es instructivo para decirnos cómo nuestra prueba tendrá que ser construido, en particular, nos dice cómo encontrar $N$ $p$ para finalmente construir un número racional entre el$a$$b$.