Un desafío geométrico.

Question

Deje que$ABC$ un triángulo isósceles a la derecha y$M$ el punto medio en la hipotenusa$AC$. Dentro del triángulo, dibuje un círculo que sea tangente a$AB$ at$P$ y a$BC$ at$Q$. La línea$MQ$ corta nuevamente al círculo en$T$. Si$H$ es el ortocentro del triángulo$AMT$, demuestre que$MH=BQ$.

Creo que deberíamos probar que$MH$ es igual al radio del círculo, pero tal vez exista otra idea.

Answer 1

Deje $O$ ser el centro del círculo.

Reclamo: $OMQC$ es un cuadrilátero cíclico.

Prueba: Esto sigue porque $\angle OMC = \angle OQC = 90^\circ$.

Reclamo: $MOAT$ es un cuadrilátero cíclico.

Prueba: Esto sigue porque $\angle OTM = \angle OQM = \angle OCM = \angle OAM $.

Reclamo: $OAT$ $OCQ$ son triángulos congruentes

Prueba: $OA=OC, OT=OQ$$\angle TOA = \angle TMA = \angle QMC = \angle QOC$.

Reclamo: Azul declaró, $AT$ es tangencial a la circunferencia.

Prueba: $AT = QC = AP$.

Reclamo: $MOTH$ es un paralelogramo.

Prueba: $\angle TMH = 90^\circ - \angle ATM = \angle MTO $$ \angle HTM = 90^\circ - \angle TMA = \angle TMO $. Así, los lados opuestos son paralelos $_\square$

Por lo tanto $MH = TO = OP = BQ$.

Answer 2

Prueba sin palabras.

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Bien, aquí están algunas palabras: Paso 1 se muestra que las $\square AMOP$ $\square AMTP$ son cíclicos (ángulos opuestos son suplementarios); ya que comparten tres vértices, sus circumcircles coinciden, y llegamos a la conclusión de que $\angle ATO$, que subtienda un semi-círculo, es un ángulo recto.

En el Paso 2, diversos perpendicularities (la única que no es obvio que es manejado por el Paso 1) implica paralelismos que hacen de $\square MOTH$ un paralelogramo.