Este es un fenómeno general; minimizers de problemas variacionales satisfacer una elíptica de la PDE. Si $u$ minimiza el funcional $I[w],$ para cualquier otra función de $v$ obtenemos $i(t) = I[u+tv]$ satisface $i''(t) \geq 0.$ a grandes rasgos, esto muestra el asociado 'Saco' de $I[w]$ $u$ es positiva definida. Intuitivamente se puede ver por qué obtener algún tipo de elíptica comportamiento como resultado.
Más precisamente, se puede mostrar que si $u : \Omega \rightarrow \mathbb R$ minimses la funcional,
$$ I[w] = \int_{\Omega} F(x,w,Dw)\,\mathrm{d}x, $$
a continuación, para cada una de las $x \in \Omega$ $\xi \in \mathbb R^n,$
$$ \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 F}{\partial p_i \partial p_j}(x,w,Dw) \xi_i\xi_j \geq 0. $$
Donde $F = F(x,z,p).$ En el caso de Euler-Lagrange ecuación es lineal ($D^2F$ sólo depende de $x$) y $n=2,$ recuperar la condición de búsqueda.
La idea de la prueba es utilizar el hecho de que $i''(t) \geq 0$ para una inteligente elección de $\phi.$ Los detalles son un poco implicado, pero se hace de Evans de la PDE libro (capítulo 8).
Escribiendo esta respuesta me doy cuenta de lo que he dicho anteriormente puede no ser adecuado para alguien que está aprendiendo sobre el cálculo de variaciones, desde un punto de vista aplicado. Me quedo con el ejemplo en el PDF enlazadas, es decir, la funcional,
$$ P(u) = \frac12\iint_S \left[ a \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + b\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) + c\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$
Supongamos que un minimiser $u$ existe. A continuación, los asociados de Euler-Lagrange ecuación está dada por,
$$ a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + c \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.$$
Por otra parte, la segunda variación está dada por,
$$i''(0) = \iint_S \left[ a \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + b\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right) + c\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2\right]\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \geq 0,$$
para todas las funciones lisas $v : S \rightarrow \mathbb R^n$ fuga en el límite. Voy a dejar esto como un ejercicio, pero la derivación es similar a la de la primera variación. No es difícil ver que esto obliga a la matriz
$$ \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix},$$
para ser no negativa definida.
