mostrando que la secuencia $a_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} - \log(n)$ converge

Question

Hola estoy tratando de resolver un ejercicio que es parte de mi tarea y agradecería mucho una pista de cómo resolverlo.

Dada la secuencia $a_n=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} - \log(n)$ me pide que demuestre que es convergente y que demuestre ese límite cuando $n$ se acerca al infinito de $a_n$ es $c$ donde $c$ está entre $0$ y $1$ .

Hasta ahora he demostrado su montonía y que la secuencia es decreciente. Sin embargo, podría necesitar una pista sobre cómo acotarla. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $a_n=\log n-\sum_{k=1}^n\frac1k$ . Entonces $$\begin{align} a_{n+1}-a_n&=\log(n+1)-\log n-\frac1{n+1}\\ &=\int_n^{n+1}\frac{dx}x-\frac1{n+1} \end{align}$$

y

$$\frac1{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{dx}x<\frac1n$$

así que

$$0<a_{n+1}-a_n<\frac1n-\frac1{n+1}$$

Concluimos que la secuencia $a_n$ está aumentando. Además,

$$\begin{align} a_{n+1}&=a_1+\sum_{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)\\ &<-1+\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\ &=-1+1-\frac1{n+1}\\ &<0 \end{align}$$

Así que la secuencia está acotada y, por tanto, converge. Obsérvese que mi $a_n$ es el opuesto al suyo.