La inundación de la onda en un río sigue la ley de la conservación de $$ A_t + (A^{3/2})_x = 0 $$ donde $A(x,t)$ es el área de la sección transversal del agua en la ubicación de $x$ y el tiempo de $t$. Un fuerte y repentino de la lluvia crea una inundación fluvial área de la sección transversal a lo largo de su ruta de acceso de la siguiente manera (como $t=0$) $ $ (X,0) = \left\lbrace\begin{aligned} &1 && x\leq 0 \\ &4 && 0 < x \leq 10\\ &1 && x> 10 \end{aligned}\right. . $$
(a) Encuentre y dibuje las características de la ecuación.
(b) Encuentre la solución de área de la sección transversal a lo largo del río en $t=1$.
(c) Suponga que una ciudad se encuentra en $x=31$, cuando el diluvio de la cresta llegar a ella?
PROBAR:
En primer lugar, escribimos la PDE como $A_t + \frac{3}{2} A^{1/2} A_x = 0 $
Ahora, la solución de esta ecuación utilizando el método de characteristiscs, obtenemos
$$ x = \frac{3}{2} \sqrt{ A(r,0) } t + r $$
por las características de la ecuación y la solución es implícitamente dada por
$$ A(x,t) = \phi ( x - 3/2 \sqrt{ A } s ) $$
donde $\phi(x) = A(x,0) $. Así, tenemos las características descritas por
$$ x = \begin{cases} 3/2 t + r,& r \leq 0 \\ 3t + r,& 0 < r \leq 10 \\ 3/2t+r,& r > 10 \end{cases} $$
y parcelas
¿estoy correcto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí es un gráfico de las curvas características en la $x$-$t$ plano como se deduce de los datos iniciales:
El flujo de $A \mapsto A^{3/2}$ es convexa positivos área de la sección transversal $A$. Por lo tanto, la teoría clásica para la debilidad de la entropía de las soluciones de las leyes de conservación se aplica. Se puede observar que
En $x=0$, características por separado. Una rarefacción de la onda se crea, que la forma de onda $v(x/t)$ está dado por el recíproco de la función $A \mapsto \frac{3}{2}\sqrt{A}$, es decir, $v(x/t) = \frac{4}{9}(x/t)^2$.
En $x=10$, características de la intersección. De acuerdo a la Laxa de la entropía condición, una onda de choque se crea, que la velocidad de la $s$ satisface la Rankine-Hugoniot condición de $s = {(4^{3/2}-1^{3/2})}/{(4-1)}= \frac{7}{3}$.
Por lo tanto, la entropía solución para pequeñas positivo veces lee $$ Un(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} & 1 && x \leq \tfrac{3}{2} t \\ & \left(\tfrac{2x}{3t}\right)^2 && \tfrac{3}{2} t \leq x \leq 3 t\\ & 4 && 3 t \leq x \leq 10 + \tfrac{7}{3} t \\ & 1 && x \geq 10 + \tfrac{7}{3} t \end{aligned} \right. $$ lo que es válido en $t=1$. De hecho, la rarefacción de la onda de no coger el choque antes de que el tiempo de $t^*$ tal que $3 t^* = 10 + \tfrac{7}{3} t^*$, es decir, $t^* = 15$. La onda de choque llegará a $x=31$ en el tiempo de $21/\frac{7}{3} = 9$ a que la solución anterior sigue siendo válido ($t < t^*$).
