Deje $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ser toda una función tal que $|f(z)| \rightarrow \infty$ como $|z| \rightarrow \infty$. Demostrar que $f$ es un polinomio por los pasos siguientes.
(a) Observe que la función de $f(1/z)$ definido en $C \setminus\{0\}$ tiene un polo en el origen. Deje $S$ ser el singular parte de su de la serie de Laurent alrededor de $0$. Argumentan que $g(z) = f(z) − S(1/z)$enfoques límites finitos como $z \rightarrow 0$ y como $|z| \rightarrow \infty$.
(b) Demostrar que $g$ se extiende a un almacén de toda la función y por lo tanto es constante.
(c) Deducir que $f$ es un polinomio.
Sé que hay soluciones para esto, pero no con estos pasos. Se me ha dado esta como una asignación y realmente necesita ayuda para averiguar cómo escribir la solución.
Para el punto (a) escribí
En orden para $|f(z)| \rightarrow \infty$ como $|z| \rightarrow \infty$, es equavalent decir $|f(\frac{1}{z})| \rightarrow \infty$ como $z \rightarrow 0$. Por lo $f(z)$ puede ser escrita de la serie de Laurent alrededor del punto de $0$ tal que $\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n = g(z) + s(\frac{1}{z})$ da $g(z)$ es el poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ e $S$ es la singular parte de su de la serie de Laurent alrededor de $0$.
Por lo tanto, $ g(z)= f(z) - s(\frac{1}{z})$ e $g(z)$ tiende a un límites finitos como $z \rightarrow 0$ y como $|z| \rightarrow \infty$ dada la potencia de la serie.
Para (b) escribí
Sólo extraíble singularidades están a la izquierda en $g(z)$. Así con Riemann extraíble del teorema de la singularidad, con $p$ ser extraíbles de la singularidad. $g(z)$ puede ser extendida de forma continua y holomorphically en $p$ y desde $g(z)$ está en condiciones de servidumbre en algunos discos alrededor de $p$ excluyendo el punto de $p$ con un radio no mayor de $0$. Por lo tanto la función extendida es limitado así y por el teorema de Liouville, es una función constante.
Y no tengo ni idea de cómo responder (c), lo siento por el largo post y gracias de antemano!!!
