Identificación de las clases de Chern

Question

Tengo una pregunta acerca de un comentario/observación en Un breve Curso de Topología Algebraica por P. de Mayo en la página 199.

Aquí el extracto:

Tras la introducción de las clases de Chern de Mayo de reclamaciones que $c_1 \in H^2(BU(1); \mathbb{Z})= H^2(\mathbb{CP}^{\infty}; \mathbb{Z})$ corresponde bajo canónicas de identificación con la identidad homotopy clase $id_{\mathbb{CP}^{\infty}} \in [\mathbb{CP}^{\infty}, \mathbb{CP}^{\infty}]$.

No entiendo por qué la $H^2(\mathbb{CP}^{\infty}; \mathbb{Z})$ e $[\mathbb{CP}^{\infty}, \mathbb{CP}^{\infty}]$ son identificados.

Yo sé que por Yoneda lema y el hecho de que $VB_n(-)$-functor de complejas $n$-dimensiones del vector de paquetes es representable por $[-, \mathbb{CP}^{\infty}]$ obtenemos la identificación de $Hom([-, \mathbb{CP}^{\infty}], H^q(-))= H^q(-;\mathbb{Z})$ explicitamente dado por $\phi \mapsto \phi_{\mathbb{CP}^{\infty}}(id_{\mathbb{CP}^{\infty}})$.

Pero no veo por qué esta identificación a través de Yoneda implica la identificación entre el $H^2(\mathbb{CP}^{\infty}; \mathbb{Z})$ e $[\mathbb{CP}^{\infty}, \mathbb{CP}^{\infty}]$.

Answer 1

$\mathbb{C}P^\infty$ es $K(\mathbb{Z},2)$ que representa a $H^2(-,\mathbb{Z})$. Así $$[X, \mathbb{C}P^\infty] \cong H^2(X; \mathbb{Z})$$ for any $X$. Now take $X = \mathbb{C}P^\infty$.

Si quieres pensar de $\mathbb{C}P^\infty \simeq BU(1)$ como la clasificación de espacio para la línea de paquetes, entonces esto es consistente con el hecho de que $c_1(\gamma_1)$ es un generador de $H^2(\mathbb{C}P^\infty; \mathbb{Z})$, donde $\gamma_1$ es el tautológica de la línea de paquete de más de $\mathbb{C}P^\infty$.