¿Mi "Primer Factor de Mirar y Decir" secuencia termina siempre?

Question

Estoy tratando de crear un reto para el PP Y CG donde el objeto será el de encontrar la secuencia más larga en un momento dado, pero estoy preocupado de que puede haber una secuencia infinita que va a arruinar las cosas.

La secuencia es similar a la de Buscar y decir la secuencia, pero el uso de los factores primos (en orden creciente) de la anterior legislatura por el actual. Cuando el plazo actual es primo, la secuencia se detiene. Por ejemplo, si el primer término es de 15, se obtiene:

15       = one 3, one 5  (1 3 1 5)
1315     = one 5, one 263 (1 5 1 263)
151263   = two 3s, five 7s (2 3 5 7)
2357     = prime, stop sequence

Así, comenzando con 15 da cuatro término de la serie. A partir de cualquiera primer da un plazo de la serie.

Además, si una secuencia de revisita un número, se detiene (contando la revisited número sólo una vez). No sé si no son cualquier secuencias cíclicas, pero que hay que evitar.

Cada número que he probado hasta ahora (manualmente) con el tiempo se termina, pero no estoy seguro de que esto se cumple para cualquier partida plazo. Es allí cualquier simple visión de que me falta que demostrar (o refutar) que para cada (positivo) número de partida de la secuencia será finito? No me importa si es absurdamente largo, pero no infinito.

Answer 1

A partir de $8$ I get $32, 52, 22113, 5317113, 131167110613, \ldots$ y la secuencia no muestra señales de terminar. En algún punto de los números se hacen tan grandes que el factoring se vuelve muy lento. Mi programa se rindió cuando tratando de factor de $$ 231331170111602782603539242084011491005276716148307683565573944963714969597915443$$

EDIT: Vamos a $x_k$ ser la secuencia de los números obtenidos en este proceso. Si $x_k = p_1 \cdots p_m$ $$ n dígitos, los factores de $p_1, \ldots, p_m$ ha entre $n$ y $n+m-1$ dígitos (es decir, si $10^{d_j-1} \le p_j < 10^{d_j}$ y $s = d_1 + \ldots + d_m$ tenemos $10^{s-m} \le x < 10^s$), y (si el $p_j$ son distintos) el siguiente número $x_{k+1}$ entre $n+m$ y $n + 2m-1$ dígitos. Los números que no son squarefree reducir un poco. Normalmente, un número con $n$ dígitos tiene aproximadamente $\log n$ distintos factores primos. Así que debemos esperar que el número de dígitos en $x_k$ a no crecer mucho más que linealmente, tal vez en la mayoría de algo así como $k \log(k)$. La probabilidad de que un entero aleatorio de este tamaño prime es algo así como $\dfrac{1}{k \log(k)}$. Desde $\sum_k \dfrac{1}{k \log(k)}$ se aleja, debemos esperar para finalmente encontrar un alojamiento. Sin embargo, esta es sólo una heurística argumento, no una prueba, y que suma diverge muy lentamente, por lo que dado que hemos llegado a un $81$dígitos sin encontrar una prime el número de pasos necesarios, bien podría ser enorme.

Aquí es un gráfico del número de dígitos en $x_k$ para $k = 0 \ldots 20$ con $x_0 = 8$.

EDIT: en Realidad no fue el error en mi código (me olvidé de que Arce no siempre la lista de los factores en orden numérico), por lo que el número 231331... encima estaba mal. Pero la trama debe ser correcta. Los $90$dígitos $x_{20}$ es $$ \pequeño 143314611607153852459854993120121438819369187408718398556398062751481672397689379055730183$$