Haciendo del subgrupo de unidades de un anillo topológico un grupo topológico

Question

Soy un principiante en la teoría de álgebra topológica (estoy leyendo algo sobre ello en el Robert "Un curso en $p$- ádico de análisis"). En la página 24, el autor afirma que si $A$ es topológico, el anillo, el subgrupo $A^{\times}$ no es en general un grupo topológico.

Con el fin de superar esta dificultad, el autor considera que la incrustación de $$x\mapsto (x,x^{-1})\colon A^{\times} \to A\times A$$ y define la topología inicial en $A^{\times}$, es decir, el más áspero de la topología de lo anterior función continua.

En este punto, dice que $A^{\times}$ es un grupo topológico debido a la continuidad de la inversa mapa, inducida por la simetría $(x,y)\mapsto (y,x)$ de $A\times A$, es obvio.

Bueno, no es tan claro para mí por qué $A^{\times}$ es un grupo topológico.

Intento: si $f$ denota por encima de la inserción y el $U(x)$ abierto nhbd de $x\in A$, abierto de nhbd en $A^{\times}$ en el jnitial topología tiene la forma $$f^{-1}(U(x)\times U(x^{-1}))=\{z\in A^{\times}\mid (z,z^{-1})\in U(x)\times U(x^{-1})\}.$$

Por lo tanto $$f^{-1}(U(xy)\times U(y^{-1}x^{-1}))=\{(z,w)\in (A^{\times})^2\mid (zw,w^{-1}z^{-1})\in U(xy)\times U(y^{-1}x^{-1})\}.$$ (NOTA: tal vez es conveniente considerar que no está vacía simétrica abrir conjuntos de $V(x)=U(x)^{-1}\cap U(x^{-1})$, si tiene sentido, porque en este caso $V(x)^{-1}=V(x^{-1})$.) Ahora, no sé cómo escribir esto preimagen como la unión de producto de preimages de open básica de conjuntos, de modo que la continuidad está probado.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

La topología define en tener también pueden ser definidos por una característica universal que le permitirá demostrar a todos que usted quiere bastante por arte de magia.

De hecho, su definición muestra que un mapa de $X\to A^\times$ es continua si y sólo si el compuesto $X\to A\times A$ es continua. Tratar de demostrar que si no está claro para usted.

Con esto en mente, tenemos dos mapas, cuya continuidad queremos demostrar : la multiplicación y la inversión, ambos tienen codominio $A^\times$ así que es genial. Pero ahora mira a la inversión, por ejemplo : $x\mapsto x^{-1}$. A continuación, el compuesto $A^\times \to A\times A$ es $x\mapsto (x^{-1},x)$, que es $sym\circ embedding$, ambos de los cuales son continuos.

¿Qué acerca de la multiplicación ? Bien componer $A^\times\times A^\times \to A^\times \to A\times A$. Esto es exactamente $(x,y) \mapsto xy \mapsto (xy, y^{-1}x^{-1})$.

Pero por arte de magia, esta es sólo la composición de la $A^\times \times A^\times \to A\times A\times A\times A\to A\times A\times A\times A \to A\times A$ donde el medio del mapa es $(a,b,c,d) \mapsto (a,c,d,b)$ y el último mapa es $(a,b,c,d)\mapsto (ab, cd)$ así que todo es continua. Por lo tanto, la composición es continua así, y ya está