Parametrizando la espiral cuadrada

Question

Relacionado con esta pregunta sobre espirales de números tengo otra, más específica.

Mientras que es bastante fácil organizar los números naturales a lo largo de una espiral arquimediana mediante

$$x(n) = \sqrt{n}\cos(2\pi\sqrt{n})$$ $$y(n) = \sqrt{n}\sin(2\pi\sqrt{n})$$

es mucho más difícil organizarlos a lo largo de una espiral cuadrada mediante una fórmula cerrada. Es muy fácil construir la espiral cuadrada algorítmicamente ("ir a lo largo de líneas rectas y siempre girar a la derecha si es posible") pero estoy totalmente atascado en cómo se verían las funciones $x(n),y(n)$ como expresiones formales. Lo único de lo que estoy bastante seguro es que harán uso de la función raíz cuadrada, pero ¿cómo se codifican los "radios" y las vueltas?

Así es como lucen las dos espirales (la espiral arquimediana está apropiadamente escalada y rotada para alinear los números cuadrados):

Y aquí puedes ver cómo se transforman una en otra.

¿Alguien puede darme una pista (o la solución)?

Answer 1

No estoy seguro si esta respuesta la pregunta. Podemos observar que los cuadrados de los números pares están en la diagonal del segundo cuadrante, así que si establecemos: $$\hat n=\max\{2k\mid (2k)^2\leqslant n\},$$ o en otras palabras: $$\hat n=\left\{ \begin{array}{cl} \lfloor \sqrt n\rfloor & \mbox{si $\lfloor \sqrt n\rfloor$ es par}\\ \lfloor \sqrt n\rfloor-1 & \mbox{si $\lfloor \sqrt n\rfloor$ es impar} \end{array} \right.,$$ entonces podemos organizar fácilmente los números en la malla de enteros por la regla: $$(x(n),y(n))= \left\{ \begin{array}{cl} (-\frac{\hat n}{2}+n-\hat n^2,\frac{\hat n}{2}) & \mbox{si $\hat n^2\leqslant n\leqslant\hat n^2+\hat n$}\\ (\frac{\hat n}{2},\frac{\hat n}{2}-n+\hat n^2+\hat n) & \mbox{si $\hat n^2+\hat n< n\leqslant\hat n^2+2\hat n+1$}\\ (\frac{\hat n}{2}-n+\hat n^2+2\hat n+1,-\frac{\hat n}{2}-1) & \mbox{si $\hat n^2+2\hat n+1< n\leqslant\hat n^2+3\hat n+2$}\\ (-\frac{\hat n}{2}-1,-\frac{\hat n}{2}-1+n-\hat n^2-3\hat n-2) & \mbox{si $\hat n^2+3\hat n+2< n\leqslant\hat n^2+4\hat n+3$} \end{array} \right..$$

Answer 2

[Esta respuesta está inspirada en la respuesta del usuario SMM. Gracias por ello.]

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Considera "aproximaciones lineales por tramos" de la función seno y coseno, definidas periódicamente en el intervalo unitario, es decir, $x \in [0,1]$.

Sea

$$\boxed{\cos_\bigcirc(x) = \cos(2\pi x)\\\sin_\bigcirc(x) = \sin(2\pi x)}$$

y compara esto con

$$\boxed{\cos_\square(x) = \begin{cases} +1 & \text{ para } \frac{0}{8} \leq x \leq \frac{1}{8} \\ +2 - 8x & \text{ para } \frac{1}{8} \leq x \leq \frac{3}{8} \\ -1 & \text{ para } \frac{3}{8} \leq x \leq \frac{5}{8} \\ -6 + 8x & \text{ para } \frac{5}{8} \leq x \leq \frac{7}{8} \\ +1 & \text{ para } \frac{7}{8} \leq x \leq \frac{8}{8} \\ \end{cases} \\ \\\sin_\square(x) = \begin{cases} +0 + 8x & \text{ para } \frac{0}{8} \leq x \leq \frac{1}{8} \\ +1 & \text{ para } \frac{1}{8} \leq x \leq \frac{3}{8} \\ +4 - 8x & \text{ para } \frac{3}{8} \leq x \leq \frac{5}{8} \\ -1 & \text{ para } \frac{5}{8} \leq x \leq \frac{7}{8} \\ -8 + 8x & \text{ para } \frac{7}{8} \leq x \leq \frac{8}{8} \\ \end{cases}}$$

o escrito de manera más legible:

$$\cos_\square(x) = \begin{cases} +1 & \text{ para } 0 \leq 8x \leq 1 \\ +2 - 8x & \text{ para } 1 \leq 8x \leq 3 \\ -1 & \text{ para } 3 \leq 8x \leq 5 \\ -6 + 8x & \text{ para } 5 \leq 8x \leq7 \\ +1 & \text{ para }7 \leq 8x \leq 8 \\ \end{cases} \\ \\\sin_\square(x) = \begin{cases} +0 + 8x & \text{ para } 0 \leq 8x \leq 1 \\ +1 & \text{ para } 1 \leq 8x \leq 3 \\ +4 - 8x & \text{ para } 3 \leq 8x \leq 5 \\ -1 & \text{ para } 5 \leq 8x \leq7 \\ -8 + 8x & \text{ para }7 \leq 8x \leq 8 \\ \end{cases}$$

Estas son las gráficas:

$\cos_\square$ y $\sin_\square$ son especialmente adecuados para ordenar números en un cuadrado con coordenadas enteras alrededor del origen con una distancia uniforme $1$ a lo largo del cuadrado.

Esto solo funciona para múltiplos de $8$ con $8n = (2n+1)^2 - (2n-1)^2$. En este caso, las posiciones de los $8n$ números $k = 0, 1, \dots, 8n-1$ se dan por

$$\boxed{x^{(n)}_\square(k) = n\cos_\square(\frac{k}{8n})\\ \\y^{(n)}_\square(k) = n\sin_\square(\frac{k}{8n})}$$

Compara esto con las posiciones de los $8n$ números en un círculo alrededor del origen con una distancia uniforme $\frac{2\pi}{8}$ a lo largo del círculo:

$$\boxed{x^{(n)}_\bigcirc(k) = n\cos_\bigcirc(\frac{k}{8n})\\ y^{(n)}_\bigcirc(k) = n\sin_\bigcirc(\frac{k}{8n})}$$

Para la espiral (circular) arquimediana tenemos

$$x_\bigcirc(k) = -\frac{\sqrt{k}}{2}\cos_\bigcirc(\frac{\sqrt{k}}{2}-\frac{1}{8})$$ $$y_\bigcirc(k) = -\frac{\sqrt{k}}{2}\sin_\bigcirc(\frac{\sqrt{k}}{2}-\frac{1}{8})$$

Escrito para comparar con la espiral cuadrada:

$$\boxed{x_\bigcirc(k) = - x_\bigcirc^{(\sqrt{k}/2)}(2k-\frac{1}{8})\\ y_\bigcirc(k) = -y_\bigcirc^{(\sqrt{k}/2)}(2k-\frac{1}{8})}$$

Observa que los factores $-1$, $\frac{1}{2}$ y la fase $\frac{1}{8}$ (que corresponde a $\frac{\pi}{4}$) fueron elegidos para alinear la Arquimediana con la espiral cuadrada, especialmente con los números cuadrados.

Las fórmulas

$$x_\bigcirc(k) = \sqrt{k}\cos_\bigcirc(\sqrt{k})$$ $$y_\bigcirc(k) = \sqrt{k}\sin_\bigcirc(\sqrt{k})$$

darían una espiral arquimediana también.

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Esto es para la espiral cuadrada. Sea $k'$ el mayor cuadrado perfecto impar menor que $k$. Sea $\hat{k} = (\sqrt{k'}-1)/2$. Sea $x_\square(0) = 0$ y $y_\square(0) = 0$ y para $k > 0$

$$\boxed{x_\square(k) = x_\square^{(\hat k)}(k - k' - \hat k + 1) \\ y_\square(k) = y_\square^{(\hat k)}(k - k' - \hat k + 1)}$$

Observa que $k - k' - \hat k + 1$ siendo negativo no plantea un problema ya que $\cos_\square$ y $\sin_\square$ son periódicos en ambas direcciones.

Answer 3

Al adaptar la fórmula encontrada en A174344 para que sea no recursiva utilizando notación de sumatoria, puedes obtener lo siguiente:

$$x(n) = \sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{\pi}{2}\left \lfloor \sqrt{4k-3} \right \rfloor)$$

$$y(n) = \sum_{k=1}^{n} \cos(\frac{\pi}{2}\left \lfloor \sqrt{4k-3} \right \rfloor)$$

Puedes ver esto en acción aquí en Desmos.

$(x(n),y(n))$ genera una espiral cuadrada en sentido horario comenzando en la dirección $+x$. Al negar uno o ambos y/o intercambiar $x(n)$ y $y(n)$, puedes crear diferentes orientaciones de la espiral cuadrada. La orientación en tu ejemplo y en el gráfico de Desmos utiliza $(x(n),-y(n))$.