Resolviendo

Question

Mientras que el tutor de un estudiante en introductorios de cálculo, me preguntó cómo iba a establecer una integral para determinar el volumen del sólido creado por girar la región limitada por las funciones de $\sin(x)$, $\ln(x)$, y el $x$-alrededor del eje de la línea de $y=5$. La integral de la siguiente manera: $$\pi\int_{1}^{a} 25-(\ln(x))^2 dx + \pi\int_{a}^{\pi} 25-\sin^2(x)dx$$ where $un$ is the solution to $\sin(x) = \ln(x)$. However, I couldn't give an explanation as to how to find this point. Is this something that could be solved given two years of introductory calculus, or does it require a larger toolkit? In searching for an answer to this problem online, I was bombarded by hits on $\ln(x)$ diferenciación de los recursos que, obviamente, no eran útiles. Cualquier luz que pueda arrojar sería apreciado!

Answer 1

Los métodos numéricos son el camino a seguir. Claramente no sería sólo una solución que puede ser calculado teniendo en cuenta la monotonía de $\ln x$ y el acotamiento de $\sin x$. Sería de gran ayuda si está permitido el uso de una calculadora.

Definir $f(x)=\sin x-\ln x$. Por Newton Raphson método se tiene la siguiente fórmula iterativa. $$x_{n+1}=x_n-\dfrac{\sin x_n-\ln x_n}{\cos x_n-1/x_n}$$

Voy a hacer una primera conjetura decir $x_0=2$. Ahora el uso de la fórmula de iteración para obtener un valor exacto de la solución: $$\begin{array}{|p{3cm}||p{3cm}|p{3cm}|p{3cm}|}\hline n & x_n \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 2.23593406389 \\ 2& 2.21918552153 \\ 3& 2.21910715064\\\hline \end{array}$$

Answer 2

Si al estudiante se le permite una calculadora gráfica, puede establecer la gráfica y = sin (x) e y = ln (x) en la gráfica y usar la calculadora para encontrar la intersección (soy un estudiante de secundaria y lo hice para encontrar intersecciones en Calc 2)