Al parecer, este hecho era conocido por Riemann. ¿Cómo pensó Riemann en esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En ese momento, no se sabía que existía una variedad de módulos de curvas suaves, por lo que su recuento fue realmente un Módulos contar, en el sentido latino. Creo que la estrategia en el recuento de Riemann era contar cubiertas de la línea proyectiva por todo curvas suaves a la vez, de dos maneras.
Primera vía . Fijar una curva suave $C$ . Estudiemos el grado $d$ cubre $C\to\mathbb P^1$ . Dar una de ellas es lo mismo que dar dos secciones linealmente independientes de alguna $L\in \textrm{Pic}^d(C)$ . Ahora, arregla uno de esos $L$ y asumir $d$ es lo suficientemente grande (digamos $d>2g-2$ ). Entonces $h^0(L)=d-g+1$ . Esto significa que, habiendo fijado $C$ y $L$ Hay un $2(d-g+1)-1=2d-2g+1$ familia dimensional de cubiertas de grado $C\to\mathbb P^1$ adjunta a $L$ . (El $-1$ es sólo para identificar $(s,t)$ con $(as,at)$ , para $a\in\mathbb C^\times$ ). Ahora, $\textrm{Pic}^d(C)\cong \textrm{Pic}^0(C)$ tiene dimensión $g$ . Entonces, variemos el haz de líneas $L$ y la curva para obtener el recuento que queremos: obtenemos $$(2d-2g+1)+g+\dim M_g=2d-g+1+\dim M_g.$$
Segunda vía . Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz (denominada actualmente). Cualquier cubierta tiene entonces $2g+2d-2$ puntos de bifurcación y gracias al Teorema de Existencia de Riemann, que clasifica las cubiertas de la recta proyectiva, sabemos que no es necesario ningún término de corrección, por lo que $$2d-g+1+\dim M_g=2g+2d-2,$$ de donde $\dim M_g=3g-3$ .
Puede que quieras buscar a E. Looijenga notas de clase donde lo explica de otra manera, aunque similar, en la sección "El recuento de los módulos de Riemann".
Por cierto, ya que el título de tu pregunta comienza con "cuál es la mejor manera", no puedo evitar hacer esta observación: desde la teoría de la deformación, el espacio tangente de Zariski de $M_g$ en un punto $[C]$ es isomorfo a $$H^1(C,\mathcal T_C),$$ que a su vez -por la dualidad de Serre- es isomorfo a $$H^0(C,\omega_C^{\otimes 2})^\prime,$$ y por Riemann-Roch esta última tiene dimensión $$h^0(C,\omega_C^{\otimes 2})=2(2g-2)+1-g=3g-3,$$ habiendo observado que $\deg \omega_C^{\otimes 2}>2g-2$ .
