¿El límite de$f/f'$ necesariamente$0$?

Question

Deje $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ ser diferenciable en a$[a,b]$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}f^\prime(x)=0$, e $f^\prime(x)\ne 0$ en un barrio de $a$. Es necesariamente cierto que

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{f^\prime(x)}=0$$

No parece muy claro para mí que este límite debe existir siempre, y que no hay algunos patológica de la función para la que el límite es distinto de cero.

Answer 1

Podemos comprobar que la $f'/f$ debe ser ilimitado en cualquier barrio de $a$.

En primer lugar, hemos de imponer bastante débil condición de que $f'$ es integrable. Por hipótesis de $f' \neq 0$ en algunos intervalo de $(a,b]$. Desde sus derivados tienen el valor intermedio de la propiedad (del teorema de Darboux) debemos tener bien $f'(x) > 0$ o $f'(x) < 0$ para todos los $x \in (a,b]$.

Desde $f(x) \to 0$ como $x \to a+$, se deduce que el $f$ es creciente si $f' > 0$ con $f(x) > 0$ e $f'(x)/f(x) > 0$ para $x \in (a,b]$. Por otro lado, si $f' < 0$ entonces $f$ es la disminución de la con $f(x) < 0$ e $f'(x)/f(x) > 0$ para $x \in (a,b].$

Desde $f'/f$ es integrable tenemos

$$\int_{a+\delta}^b \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \int_{f(a+\delta)}^{f(b)} \frac{dy}{y} = \log f(b) - \log f(a + \delta).$$

Así, desde la $\log f(a + \delta) \to -\infty$ como $\delta \to 0+$ hemos

$$\int_a^b \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \lim_{\delta \to 0+} \int_{a+\delta}^b \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = +\infty,$$

y, por lo tanto,

$$\limsup_{x \to a+} \frac{f'(x)}{f(x)} = + \infty, \quad \liminf_{x \to a+} \frac{f(x)}{f'(x)} = 0$$

Otro enfoque que no requieren $f'$ a ser integrable

Para cualquiera de los puntos de $y > x >a$ existe $\xi_{x,y}$ entre $x$ e $y$ tales que

$$\log f(y) - \log f(x) = \frac{f'(\xi_{x,y})}{f(\xi_{x,y})}(y-x).$$

Por lo tanto,

$$\lim_{x \to a+} \frac{f'(\xi_{x,y})}{f(\xi_{x,y})} = [\log f(y) - \lim_{x \to a+} \log f(x)]/(y- a) = + \infty.$$

Por lo tanto, en cualquier intervalo de $(a,y]$ no importa lo pequeños que podemos encontrar una secuencia de puntos de $(x_n)$ tal que $f'(x_n)/f(x_n) \to + \infty.$ el valor de La media es el teorema de no-constructivo, por lo que no podemos determinar que $x_n \to a$ o más en general de ese $\lim_{x \to a+} \xi_{x,y}= a.$ Esto demuestra que, al menos, que $f'/f$ debe ser ilimitado en cualquier barrio de $x=a$, y de nuevo

$$\liminf_{x \to a+} \frac{f(x)}{f'(x)} = 0$$

Además, la hipótesis de que la $f'(x) \to 0$ como $x \to a+$ nunca fue usado.

Answer 2

Otras respuestas han ido acercando a la construcción de un contraejemplo, y estoy convencido de que con algo más de trabajo, uno debe ser posible. Lo que usted puede decir, sin embargo, es que $$\liminf_{x\to a^+} \frac{f(x)}{f'(x)} = 0.$$ En primer lugar, observe que por el teorema de Rolle, $f$ no puede tener ceros en cualquier intervalo de $(a, a + \delta)$ donde $f'$ no tiene ceros; por lo $\frac{f}{f'}$ no puede cambiar de signo, y a partir de aquí, es sencillo concluir que $\frac{f(x)}{f'(x)} > 0$ para $x \in (a, a + \delta)$.

Ahora, supongamos que el $\liminf_{x\to a^+} \frac{f(x)}{f'(x)} = \epsilon > 0$. Luego de algunos $\delta' > 0$, tenemos $\frac{f(x)}{f'(x)} > \frac{\epsilon}{2}$ para $x \in (a, a + \delta')$. De ello se sigue que $$\frac{d}{dx}(\log |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)} < \frac{2}{\epsilon}$$ for $x \in (a, a + \delta')$. Therefore, $$\log |f(x)| > \log |f(a + \delta')| - \frac{2}{\epsilon} (a + \delta' - x)$$ for each $x \in (a, a + \delta')$. This contradicts the assumption that $f(a) = 0$ and $f$ is differentiable and therefore continuous, so $\log |f(x)| \- \infty$ as $x \a^+$.

Answer 3

Creo que esto no es necesariamente cierto que el límite es de $0$.

De hecho, considerar una función de $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(0)=0$, $f'(0)=0$ y para todas las $n \in \mathbb{N}$, $$f\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n} \quad \text{and} \quad f'\left( \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n^2}$$

Creo que esto no es difícil mostrar que dicha función existe. Pero esta función no llegaría a su límite de propiedad.

Answer 4

Creo que, de hecho, siempre debe ser $0$. Mira la siguiente línea de razonamiento (donde $f(a):=0$): $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{f'(x)} = \lim_{x\to a} \left(\frac{f(x) - f(a)}{x-a}\right)/{f'(x)}\cdot (x-a) = \lim_{x\to a} 1\cdot(x-a) = 0.$$ Sólo se necesita ser verificado que $$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x) - f(a)}{x-a}\right)/{f'(x)} = 1.$$ Estoy bastante seguro de que la segunda sostiene, pero estoy seguro acerca de la prueba.

EDIT: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x>a$. Utilizando el valor medio teorema, obtenemos que para todos los $x$ existe un $a<c_x<x$ tal que $(f(x)-f(a))/(x-a) = f'(c_x)$. De ello se sigue que $$\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x) - f(a)}{x-a}\right)/{f'(x)} = \lim_{x\to a} f'(c_x)/f'(x) = 1$$ donde el último paso es válida si $f'(x)$ es continua en a$a$, desde el $f'(x)\to 0$ como $x\to a$, esto debe ser cierto. Porque si no es continua, este límite no existe.

Edit2 la última afirmación no es cierta, como se ve en las preguntas. Si usted quiere encontrar un contraejemplo, es una buena manera de empezar a mirar a las funciones que la anterior afirmación no se sostiene.

Answer 5

La afirmación no es cierta.

Deje $f'(x) = \frac1{n^2}$ para $x \in [\frac1{2n+1},\frac1{2n}]$ , y deje $f'(x) = \frac1{2n}$ para $x \in (\frac1{2n},\frac1{2n-1})$ . Aquí $n \ge 1$ .

Deje $f(x) = \int_0^x f'(u)du$ . Uno verifica que $$f\big(\frac1{2n}\big) \geq \sum_{k=n+1}^{\infty} \int_{\frac1{2k}}^{\frac1{2k-1}}f'(u)du = \sum_{k=n+1}^{\infty}\bigg[ \frac1{2k-1}-\frac1{2k}\bigg] \frac{1}{2k} \geq \sum_{k=n}^{\infty} \frac1{8k^3}\geq \frac{1}{16n^2}.$$ Consequently, $$\frac{f(\frac1{2n})}{f'(\frac1{2n})} \geq \frac1{16}.