"¿Hasta dónde va ?" : la medida de como se puede conseguir !
He aquí una idea general acerca de cómo la teoría de conjuntos es una semántica para el clásico de la lógica proposicional (tenga en cuenta que si cambiamos el sistema formal estamos mirando sin cambiar nuestras suposiciones sobre los conjuntos, por ejemplo, si estamos estudiando intuitionistic la lógica de un clásico punto de vista, entonces tenemos que tomar otra semántica, en este caso específico, espacios topológicos, puede ser apropiado) :
Suponga que tiene un conjunto de variables proposicionales $V$, un "global" set $E$, y una función de $[-] :V\to \mathcal{P}(E)$. A continuación, puede crear una función que va desde el conjunto de $\mathrm{Form}$ de las fórmulas a $\mathcal{P}(E)$ por la expansión de $[-]$ según las reglas que se muestra : si $\varphi, \psi$ son fórmulas y ya se definió $[\varphi]$ e $[\psi]$, a continuación, defina $[\varphi \land \psi] = [\varphi]\cap [\psi]$, igualmente para $\lor, \neg$, y definir $[\varphi\implies \psi]$ como $\{x\in E\mid x\in [\varphi]\implies x\in[\psi]\}$.
Estas reglas permiten definir $[\varphi]$ para cualquier fórmula $\varphi$ por inducción, pasando de las variables y la obtención de la complejidad.
A continuación, puede probar las siguientes cosas : si $\varphi$ es un teorema de la lógica clásica, a continuación, $[\varphi] = E$, lo cual nos indica que el conjunto de operaciones se comportan de acuerdo a la lógica, pero también se puede probar : si por cualquier $E$ y cualquier $[-] :V\to \mathcal{P}(E)$, $[\varphi] = E$, a continuación, $\varphi$ es un teorema de la lógica clásica ! Este le dice que en realidad las operaciones lógicas se comportan igual que el conjunto de la teoría de las operaciones.
Realmente hay mucho más que se puede decir acerca de este tipo de cosas (por ejemplo : ¿qué sucede si usted agregar cuantificadores ? O en otra dirección ¿qué sucede si reemplazamos $\mathcal{P}(E)$ por algún otro tipo de objeto ? Si estamos completamente de cambiar el tipo de objeto, ¿qué tipo de lógica vamos a llegar ? etc. etc.)
Si usted no desea utilizar las palabras "functor" y "categoría" se puede, pero a este nivel no son lo más relevante.
