¿Qué campos entre los racionales y los reales permiten definir la distancia 2D habitual?

Question

Considere la posibilidad de un campo de $K$, vamos a decir $K \subseteq \mathbb R$. Podemos considerar el 'avión' $K \times K$. Me pregunto en qué casos la función de distancia $d: K \times K \to \mathbb R$, definido como es normal por la $d(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$, toma valores en $K$.

Ciertamente, esto no es cierto para $\mathbb Q$: tenemos $d(1, 1) = \sqrt{2} \notin \mathbb Q$. Si tomamos cualquier $K$ que es cerrado bajo tomando raíces cuadradas de los no-números negativos, entonces, ciertamente, $d$ tomará los valores en $K$.

Sin embargo, a priori, podría ser cierto que $a \in K$ positivo no tiene raíz cuadrada, sin embargo, esto no proporciona una obstrucción debido a que no hay manera de escribir $a = x^2 + y^2$. Así que me pregunto:

Hay campos de $K \subseteq \mathbb R$ que no tienen todas las raíces cuadradas de los números positivos, sin embargo, son cerrados bajo $d$?

Answer 1

Considere la posibilidad de la torre de campos

$K_0:=\mathbb{Q}$,

$K_{i+1}:=K_i(\sqrt{x^2+y^2}| x,y\in K_i)$,

$K:=\bigcup_i K_i$.

A continuación, $K$ es cerrado bajo $d$ y contiene $1+\sqrt 5$ pero no $\sqrt{1+\sqrt 5}$, ya que he encontrado por la siguiente a la de Pitágoras campos de enlace de Wikipedia dada por @Dirk en su respuesta: Si $\sqrt{1+\sqrt 5}$ fueron en $K$ entonces $1+\sqrt 5$ sería una suma de dos cuadrados en algunos extensión de $K_i$y, a continuación, sería así en una extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$, lo que implica que se trata de una suma de cuadrados en $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$, lo cual es imposible, porque eso implicaría que $1-\sqrt 5$, que es negativo, es también una suma de cuadrados en $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$.

Los detalles se pueden encontrar en el Capítulo 5 del libro de construcciones Geométricas por Martin. Los resultados más relevantes son los Teoremas de 5.10-5.15.

Del mismo modo, $\sqrt 2\in K$ pero $\sqrt[4]2\not\in K$, y más en general, esto es cierto para cualquier número positivo que no es una suma de cuadrados en la primera extensión en la que aparece.

Geométricamente, los números en $K$ corresponden a puntos construibles por gobernante y divisores. Por lo tanto $\sqrt[4]2$ es construible con regla y compás, pero no por la regla y divisores.

Answer 2

Edición: Mira lo que encontré: Wiki.

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El campo $$\mathbb{Q}(\sqrt{p} \mid p \in \mathbb{P}) podría ser un buen candidato.
Al menos, todos los campos cerrados bajo $d$ deben contener este campo.