potencia de serie de la radio de convergencia

Question

Cómo puedo probar que si los coeficientes $\{a_k\}$ de la energía de la serie de $\sum_{0}^{\infty} \{a_k\}x^k$ forma de un almacén de secuencia, entonces el radio de convergencia es de al menos 1?

Answer 1

Sugerencia: Si la secuencia de $a_k$ es acotado, entonces existe $M$ tal que $|a_k|\leq M$ todos los $k$.

Entonces, ¿qué se puede decir acerca de la $|\sum_{k=1}^\infty a_k x^k|$$\sum_{k=1}^\infty Mx^k$? ¿Cuál es el radio de convergencia de la segunda?

Answer 2

El uso de la prueba de comparación de $\sum |a_kx^k|$.

Answer 3

Si $|x| \lt 1$ $\frac{1}{1-|x|} = \sum_{n = 0}^{\infty} |x|^{n}$ por la suma de la fórmula para la serie geométrica. Ahora uso este, el triángulo de la desigualdad y la suposición de que $|a_{n}| \leq C$ todos los $n$ a la estimación de su serie desde arriba, por lo tanto la serie converge absolutamente para $|x| \lt 1$.

Alternativamente, usted puede fácilmente demostrar que el radio de convergencia $\rho^{-1} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ satisface $\rho^{-1} \leq 1$, ya que el $\sqrt[n]{C} \; \xrightarrow{n \to \infty}\; 1$ todos los $C \gt 0$. Si usted mira la prueba de esta fórmula para el radio de convergencia (usualmente llamado de Cauchy-Hadamard teorema), verás que en esencia viene a ser el mismo que el primer párrafo: una comparación con una serie geométrica que se conoce a converger.