Desde la elección de ejemplo notación y me pregunto si esto viene de las páginas 2 y 3 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/ugradnumthy/Zinotes.pdf o la similitud es pura coincidencia.
En cualquier caso, la principal razón por la cual usted no debe esperar norma de divisibilidad para implicar real de la divisibilidad en $\mathbf Z[i]$ es que las normas pueden perder información esencial. Hay Gaussiano enteros con la misma norma que no tienen los mismos factores, tales como $1+2i$$1-2i$), que tienen la norma de $5$ pero ni divide los otros (en realidad son primos relativos en $\mathbf Z[i]$). En general, puede no reconstruir $\alpha$ a de la unidad múltiple en $\mathbf Z[i]$ a partir del conocimiento de ${\rm N}(\alpha)$, así que ¿por qué debería esperar la divisibilidad de las normas implica la divisibilidad de los elementos?
(En $\mathbf Z[i]$ hay algunas situaciones donde la información acerca de la norma es equivalente a la información sobre el elemento original, tales como ser invertible. En algunos casos, es la equivalencia de la divisibilidad, tales como $(1+i) \mid \alpha \Leftrightarrow 2 \mid {\rm N}(\alpha)$, pero usted no debe esperar que tales cosas son verdaderas, en general).
Considere la posibilidad de una analogía con polinomios y grados: en lugar de ${\rm N}(\alpha\beta) = {\rm N}(\alpha){\rm N}(\beta)$ $\mathbf Z[i]$ tenemos $\deg(fg) = \deg f + \deg g$$\mathbf R[x]$, por lo que un polinomio analógica de $\alpha \mid \beta \Rightarrow {\rm N}(\alpha) \mid {\rm N}(\beta)$$f \mid g \Rightarrow\deg f \leq \deg g$. Si yo les dijera que dos polinomios $f$ $g$ $\mathbf R[x]$ satisfacer $\deg f \leq \deg g$, se puede esperar $f$ brecha $g$?