5 votos

Razón por la que en los enteros de Gauss, la norma de la divisibilidad no puede conducir a la divisibilidad.

Se toma como verdadera (con un muy fáciles de prueba) para los enteros de Gauss, que para $\alpha, \beta \in \mathbb {Z}[i]$ si $\beta \mid \alpha$$N_{\beta} \mid N_\alpha$$\mathbb {Z}$. Sería una ayuda para facilitar la verificación de $\beta \mid \alpha$$\mathbb {Z}$, siempre que la inversa es cierto, pero normalmente no es cierto, como muestra el siguiente ejemplo: $$\alpha = 14+3i,\qquad\beta= 4 +5i.$$ Aquí, $N_{\beta} = 41$, $N_{\alpha}=205$, pero la relación de $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{14+3i}{4+5i}$, después de racionalización $ = \frac{71}{41} -\frac{58}{41}i \notin \mathbb {Z}$.

Debe haber alguna razón detrás de esto, espero, que pueden expresarse geométricamente y/o de manera algebraica .

7voto

Daniel Schepler Puntos 156

Esto ayudará a pensar en términos de la factorizations de $\alpha$ $\beta$ en elementos irreductibles. Ahora, el irreducibles de $\mathbb{Z}[i]$ consta de una unidad de $\mathbb{Z}[i]$ tiempos de:

  • $1+i$
  • $a \pm bi$ donde $0 < b < a$ $a^2 + b^2 = p$ es un primer entero (es decir, irreductible como un elemento de $\mathbb{Z}$)$p \equiv 1\pmod{4}$. (Y para cada una de las prime $p$, no existe un único tal par $a, b$.)
  • $p$ donde $p \equiv 3\pmod{4}$ es un primer entero.

Ahora, $\beta \mid \alpha$ si y sólo si el exponente de cada irreductible en la factorización de $\alpha$ es mayor que o igual a la correspondiente exponente en $\beta$. Sin embargo, observando las normas de irreducibles, se puede ver que para irreducibles de que el segundo tipo de arriba, $a + bi$ $a - bi$ tienen la misma norma. Por lo tanto, tomar la norma pierde la distinción entre estos dos irreducibles, pero la divisibilidad condición no hacer la distinción (desde $a+bi$ no es una unidad de $\mathbb{Z}[i]$ veces $a-bi$).

En el ejemplo original, $\alpha = 14 + 3i$ ha irreductible de la factorización de la $\alpha = (2-i) (5+4i)$ mientras $\beta = 4+5i$ es irreductible a sí mismo y es equivalente a $\beta = i (5-4i)$. Por lo tanto, el fracaso de $\beta$ brecha $\alpha$ proviene de la distinción entre el $5-4i$ $5+4i$ que la norma se derrumba.

5voto

G Tony Jacobs Puntos 5904

En $\Bbb Z$, todos los múltiplos de $n$ son fáciles de visualizar: forman una secuencia regular de puntos a lo largo de la recta numérica, espaciados $n$ unidades de distancia. Esa es la sub-anillo $n\Bbb Z$. Es una ampliación de la copia de $\Bbb Z$, contenida dentro de $\Bbb Z$.

En $\Bbb Z[i]$, ocurre algo similar. Dentro del entramado de los enteros de Gauss, todos los múltiplos de $\alpha$ formar una cuadrícula que se parece a una ampliación de la cuadrícula completa; es constituida por $\Bbb Z$-de las combinaciones lineales de $\alpha$$i\alpha$. Se debe sacar un par de estos para tener una idea de ella. La sub-anillo $(1+i)\Bbb Z[i]$ es agradable a la vista, y usted debe tratar de algo como $(3+2i)\Bbb Z[i]$.

Ahora, los múltiplos de $\alpha=(3+2i)$ (norma 13) son los puntos en que sub-anillo/sublattice. La mira, y luego mirar a la sublattice generado por $\overline{\alpha}=(3-2i)$. Tenga en cuenta que no contienen los mismos puntos. Cualquier punto en el entramado generado por $\alpha$ es un múltiplo de a $\alpha$; cualquier punto de la red generada por $\overline{\alpha}$, pero no en los generados por $\alpha$, no es un múltiplo de la alfa, a pesar de que su norma es un múltiplo de a $13$. (Los puntos que estos dos rejillas tienen en común es precisamente el de Gauss múltiplo entero de $13$.)

¿Eso ayuda?

4voto

Neall Puntos 12075

Desde la elección de ejemplo notación y me pregunto si esto viene de las páginas 2 y 3 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/ugradnumthy/Zinotes.pdf o la similitud es pura coincidencia.

En cualquier caso, la principal razón por la cual usted no debe esperar norma de divisibilidad para implicar real de la divisibilidad en $\mathbf Z[i]$ es que las normas pueden perder información esencial. Hay Gaussiano enteros con la misma norma que no tienen los mismos factores, tales como $1+2i$$1-2i$), que tienen la norma de $5$ pero ni divide los otros (en realidad son primos relativos en $\mathbf Z[i]$). En general, puede no reconstruir $\alpha$ a de la unidad múltiple en $\mathbf Z[i]$ a partir del conocimiento de ${\rm N}(\alpha)$, así que ¿por qué debería esperar la divisibilidad de las normas implica la divisibilidad de los elementos?

(En $\mathbf Z[i]$ hay algunas situaciones donde la información acerca de la norma es equivalente a la información sobre el elemento original, tales como ser invertible. En algunos casos, es la equivalencia de la divisibilidad, tales como $(1+i) \mid \alpha \Leftrightarrow 2 \mid {\rm N}(\alpha)$, pero usted no debe esperar que tales cosas son verdaderas, en general).

Considere la posibilidad de una analogía con polinomios y grados: en lugar de ${\rm N}(\alpha\beta) = {\rm N}(\alpha){\rm N}(\beta)$ $\mathbf Z[i]$ tenemos $\deg(fg) = \deg f + \deg g$$\mathbf R[x]$, por lo que un polinomio analógica de $\alpha \mid \beta \Rightarrow {\rm N}(\alpha) \mid {\rm N}(\beta)$$f \mid g \Rightarrow\deg f \leq \deg g$. Si yo les dijera que dos polinomios $f$ $g$ $\mathbf R[x]$ satisfacer $\deg f \leq \deg g$, se puede esperar $f$ brecha $g$?

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