¿Cómo puedo probar esta propiedad de la secuencia?

Question

Dada una secuencia definida por la fórmula recursiva:
$$x_{1}=1 $$ $$x_{k+1}=x_{k}+(x_{k} \bmod 10)$$ Probar que : $$\forall n \in \mathbb{N}, n>0 \; \exists k (x_{k}=4^{n})$$

Todo lo que he intentado es que probando esta secuencia de $x_{k} \bmod 10 $ va a entrar en el ciclo de $2\rightarrow 4\rightarrow 8\rightarrow 6$, entonces el uso de la inducción, pero fue en vano. Alguien puede darme un ideal?

Answer 1

Denotar $X = \{x_1,x_2,x_3,...\}=\{1,\;\;2,4,8,16, \;\; 22,24,28,36, \;\; 42,44, ...\}$.

Si $x_k \in X$, $k\ge 2$, a continuación,$x_k+20 \in X$.

Entonces $$4^{odd} \in \{4+20m, \;m \in\mathbb{N}_0 \}\subset X,$$ $$4^{even} \in \{16+20m, \; m\in \mathbb{N}_0\} \subset X.$$

Simplemente, $4^{odd} \equiv 4 (\bmod 20)$, $4^{even} \equiv 16 (\bmod 20)$.

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Cómo se puede probar que $x_k\in X \Rightarrow x_k+20 \in X$.
De hecho, para $k\ge 2$: $x_{k+4}=x_k+20.$

Explicación: si el último dígito o f$x_k$$2$, luego
$x_{k+1} =x_k+2$ (con el último dígito $4$),
$x_{k+2} = x_{k+1}+4=x_k+6$ (con el último dígito $8$),
$x_{k+3} = x_{k+2}+8=x_k+14$ (con el último dígito $6$),
$x_{k+4} =x_{k+3}+6=x_k+20$ (con el último dígito, por supuesto, $2$).

De manera Similar, si el último dígito de la $x_k$ es $4$, $8$ o $6$. (tenga en cuenta que esta secuencia no contienen $x_k$ con el último dígito $0$).

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En $4^{odd}\equiv 4 (\bmod 20)$, $4^{even}\equiv 16 (\bmod 20)$:

$4^1\equiv 4 (\bmod 20)$, $4^2 \equiv 16 (\bmod 20)$.

El uso de esta base (para las matemáticas.inducción), vamos a suponer (por $j\in\mathbb{N}$) que
$4^{2j-1}\equiv 4(\bmod 20)$ $4^{2j}\equiv 16(\bmod 20)$.
Y demostrar, que $4^{2j+1}\equiv 4 (\bmod 20)$, $4^{2j+2}\equiv 16 (\bmod 20)$.
La prueba es casi obvia:
$4^{2j+1}\equiv 4^{2j}\times 4\equiv 64\equiv 4 (\bmod 20)$,
$4^{2j+2}\equiv 4^{2j+1}\times 4 \equiv 16 (\bmod 20)$.