Si $2^x=3^y=6^{-z}$ entonces demuéstralo: $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Question

Si $$2^x=3^y=6^{-z}$$ y $x,y,z \neq 0 $ entonces demuéstralo: $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$$

He intentado empezar con la toma de logaritmos, pero eso da sólo algunas ecuaciones más.

¿Alguna forma específica de resolver este tipo de problemas?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

$2^x=3^y=6^{-z}=k $ decir, entonces $2= k^{1\over x},3=k^{1\over y},6=k^{-1\over z}$ ¿ahora puedes seguir?

entonces $k^{-1\over z}=6=2\times 3 = k^{1\over x}\times k^{1\over y}=k^{{1\over x}+{1\over y}}$

Answer 2

$$2^x = 3^y = 6^{-z} = k $$

así que $$x = \log_2k$$ $$ y = \log_3k$$ $$z= -\log_6k$$

así que $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \log_k2 + log_k3 -\log_k6$$ $$=\log_k{\frac{2\times3}{6}}$$ $$=0$$

Answer 3

Tomar logaritmos (cualquier base) para obtener $$x\log 2= y\log 3=-z\log 6=-z\log 3-z\log 2$$

A continuación, observe que $(y+z)\log 3=-z\log 2$ y $x\log 2 = y\log 3$

Multiplica los lados izquierdo y derecho para obtener $$(xy+yz)\log 3 \log 2=-yz\log 2\log 3$$

De donde $xy+yz+zx=0$

Obsérvese que hasta ahora no hemos hecho ninguna división, excepto por el término no nulo $\log 2\log 3$ y también que $x=y=z=0$ es una solución. Si $xyz\neq 0$ podemos dividir por $xyz$ para obtener la ecuación requerida.

Answer 4

Como $\log_aa=1$ y $\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac,$

aplicando el logaritmo wrt $2,$

$x=y\log_23=-z\log_26=-z(1+\log_23)$

$x=y\log_23\implies \log_23=\frac xy$

y poner este valor de $\log_23$ en $\displaystyle x=-z(1+\log_23)$

para eliminar $\log_23$ y simplificar.

Answer 5

Mi respuesta no resuelve el problema en cuestión (porque las soluciones existentes funcionan bien) pero aborda una cuestión relacionada con la condición $x,y,z \neq 0$ .
Puede parecer que $x = y = z = 0$ es la única solución del sistema de ecuaciones anterior y al imponer la condición $x,y,z \neq 0$ Incluso eso lo estamos expulsando, por lo que no hay una solución real para ello. Pero no es cierto.

Si $x,y,z \neq 0$ entonces también, este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

En la figura anterior, tres valores distintos de $x, y, z$ están marcados como una solución donde $2^x = 3^y = 6^{-z} =v$ . Podemos deslizar la línea de $v$ hacia arriba o hacia abajo, obteniendo así infinitas soluciones.