Dado $x_1= 1$ y $$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{2}{x_n}$$ for all $n\in\mathbb{N}, n\geq 1$. Prove that the sequence $\{x_n\}$ converge y encontrar su límite.
La sugerencia dada dice que tomando el límite de ambos lados es válido sólo si usted sabe que el límite existe ya.
Parte de la pregunta determina que $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$.
Supongo que tratamos de utilizar Cauchy junto con un truco de la parte (a)? Sin embargo, no tengo ni idea de cómo ir sobre esto. Gracias!
Insisto en la pregunta en la configuración general.
PREGUNTA
Deje $\{x_n\}$ ser la secuencia dada por la siguiente fórmula: $$ x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{2}{x_n} (n\in\mathbb{N}, n\geq 1) $$ con $x_1\ne 0$. Demostrar que $\{x_n\}$ converge.
SOLUCIÓN.
Se consideran dos casos de $x_1$.
Caso 1. $x_1> 0$
Por inducción tenemos $x_n> 0$ para todos los $n\in\mathbb{N}$. El uso de AM-GM desigualdad obtenemos $x_n\geq 2$ para todos los $n\in\mathbb{N}, n>1$. Por otra parte, $$ x_{n+1}-x_n=\frac{2}{x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{4-x_n^2}{2x_n}\leq 0. $$ Desde $\{x_n\}$ es una disminución de la secuencia inferior y limitada por $0$, converge.
Caso 2. $x_1< 0$
Por inducción tenemos $x_n< 0$ para todos los $n\in\mathbb{N}$. El uso de AM-GM desigualdad obtenemos $x_n\leq -2$ para todos los $n\in\mathbb{N}, n>1$. Por otra parte, $$ x_{n+1}-x_n=\frac{2}{x_n}-\frac{x_n}{2}=\frac{4-x_n^2}{2x_n}\geq 0. $$ Desde $\{x_n\}$ es un aumento de la secuencia y la parte superior delimitada por $0$, converge.
NOTA que se desprende cómo usar AM-GM de la desigualdad en ambos casos: $$ x_{n+1}^2=\left(\frac{x_n}{2}+\frac{2}{x_n}\right)^2=\frac{x_n^2}{4}+\frac{4}{x_n^2}+2\geq 2\sqrt{\frac{x_n^2}{4}.\frac{4}{x_n^2}}+2=4. $$ Por lo tanto, $|x_{n+1}|\geq 2$ para todos los $n\in\mathbb{N}, n>1$.
La primera cosa que veo aquí es que la secuencia es similar a la "Babilonia" de método para encontrar raíces cuadradas.
Que es el Babilonios averiguado que : $x_{n+1} = \frac 12 (\frac {N}{x_n} + x_n)$ es una sucesión que converge a $\sqrt {N}$
En nuestro caso $x_{n+1} = \frac 12 (\frac {4}{x_n} + x_n)$
Podemos suponer que $\{x\}$ es convergente a $2.$
¿Cómo vamos a demostrarlo?
Mostrar que si $x_n > 2$ entonces $2<x_{n+1}< x_n$
$x_0 = 1 \implies x_1 = \frac{5}{2}$
Para todos los $n>1$ la secuencia monótona (decreciente) y limitada (a continuación) y por lo tanto convergente.
como se ha señalado por Doug M, $x_1 = 5/2$ que está por encima de $2$
Una vez $x > 2,$ tenemos $$ 0 < \frac{x-2}{2x} < \frac{1}{2} $$
La cosa interesante es cómo $x-2$ encoge bajo su asignación: $$ \frac{x}{2} + \frac{2}{x} - 2 = \left(\frac{x-2}{2x} \right) (x-2) , $$ así que con $x > 2$ tenemos $$ \frac{x}{2} + \frac{2}{x} - 2 < \left(\frac{1}{2} \right) (x-2) , $$ con $n \geq 1$ hemos $$ (x_{n+1} - 2 ) < \frac{1}{2} (x_n - 2) $$
Usted no necesita lo siguiente: en realidad, hay convergencia cuadrática.
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