Centro de grupo de Lie y álgebra de Lie.

Question

Deje $G$ ser una Mentira grupo y $\mathfrak{g} = T_eG$ su Mentira álgebra (donde $e \in G$ es el elemento neutro). Denotar $Z(\mathfrak{g})$ el centro de la $\mathfrak{g}$ $Z(g)$ el centro de la $G$. He leído la siguiente declaración, pero no lo veo como para demostrar que: $$Z(\mathfrak{g}) = 0 \Longleftrightarrow Z(G) \text{ is zero dimensional.}$$ Estoy principalmente interesado en el "$\Leftarrow$" la dirección, ya que este se utiliza en un corolario de la Bonnet-Myers teorema en el texto que estoy leyendo.

Ahora, mi conocimiento de la Mentira de los grupos es muy básica. Por ejemplo, supongo que la dimensión de $Z(G)$ significa que su dimensión de un colector. Así que yo creo que el $Z(G)$ es un submanifold de $G$. Pero, ¿cómo puedo incluso ver esto en general?

De acuerdo a esta pregunta Cuando es la Mentira de álgebra del centro de la Mentira de grupo en el centro de su Mentira álgebra, parece ser difícil encontrar condiciones al $Z(\mathfrak{g}) = Z(G)$ mantiene, en general, sin embargo, la afirmación anterior parece más simple.

Podría alguien ser capaz de demostrar el por encima de equivalencia?

Answer 1

Esta es una respuesta para $G$ conectado.

Bueno, para $Y\in \frak{g}$, usted puede mostrar que el flujo en las $G$ dada por el vector de campo, $Y$, está dada por la multiplicación de los elementos de $e^{tY}, (t\in \mathbb{R})$. Si $X\neq 0$, está en el centro, luego de su flujo de desplazamientos con el flujo asociado a todos los demás miembros de $\frak{g}$ es decir $e^{tX}$ viajes con $e^{tY}$ todos los $Y\in \frak{g}$. El conjunto $\{e^{tY}: t\in \mathbb{R}, Y\in \frak{g}\}$ contiene un abierto barrio de la identidad, por lo que genera $G$, ya que el $G$ está conectado. Por lo $e^{tY}$ viajes con un subconjunto que genera $G$, por lo que conmutan con todos los elementos de a $G$. Por lo tanto $e^{tY}$ está en el centro de la $G$. Por lo $Z(G)$ contiene un uno-dimensional sub colector, por lo tanto no es cero-dimensional.

Me doy cuenta de que probablemente esto se utiliza más la Mentira-grupo de teoría de lo que se esperaba, y tal vez hay un más elemental forma de hacerlo, pero no la puedo ver de inmediato.

Edit :tal vez hay una manera más fácil de ver que $X\in Z(\frak{g})$ implica $e^{tX}\in Z(G)$: Vamos a $\gamma: \mathbb{R}\rightarrow \mathfrak{g}, t\mapsto L_{e^{tY}\ast} \circ R_{e^{-tY}\ast }(X_e)$. Entonces demostrar que $\gamma'(0)=[X,Y]$ (esto requiere la interpretación de soporte, como la Mentira de derivados). Así que si $X$ está en el centro, a continuación, $\gamma'(s)= L_{e^{sY}_\ast }\circ R_{e^{-sY}_\ast }(0)=0$ (desde $ L_{e^{(s+t)Y}\ast}= L_{e^{sY} \ast} \circ L_{e^{tY} \ast}$, y, asimismo, para $X$). Pero esto implica $\gamma = X_e$ es constante. Por lo $e^{tY}e^{uX}e^{-tY} = e^{uX}$ todos los $t, u\in \mathbb{R}$, que dice que todos los $e^{uX}$ conmuta con todos los $e^{tY}$