probabilidad de que una suma de 3 se lance antes que una suma de 5 en una secuencia de tiradas de dados de un dado de cuatro caras.

Question

Estoy atascado en este problema

Se tira un par de dados de cuatro lados y se determina la suma. ¿Cuál es la probabilidad de que una suma de 3 se lance antes de que una suma de 5 se tire en una secuencia de tiradas de dados?

Lo que intenté ...

Deje que$A=$ suma de$3$;
Sea$B=$ suma de 5;

entonces

$P(A \mid \text{not}~B)=$ es decir, probabilidad de A dado que B no ha sucedido.

$P(A \mid not B)= \dfrac{P(A~\text{and not}~B)}{P(\text{not}~B)}$;

Pero utilizando este enfoque no estoy recibiendo respuesta.

Answer 1

Hay$2$ maneras de hacer$3(12,21)$,$4$ maneras de hacer$5 (14,41,23,32)$ y$10$ # formas de hacer otra cosa.

Represente estas posibilidades con$1,2,5$. Deseamos determinar la probabilidad de que$1$ ocurra antes de$2$.

Podemos ignorar todos los lanzamientos iniciales de$5$, y como cada lanzamiento es independiente, el problema se reduce a lo que ocurre primero con$1$ y$2$.

Como$2$ es dos veces más probable que ocurra que$1$, la respuesta es$\dfrac13$.

Answer 2

Supongamos que tenemos una serie de experimentos, y seguimos hasta el evento 1 se produce (con una probabilidad de $p$, o la inconexión caso 2 se produce (con una probabilidad de $q$). Si no se produce (la probabilidad de $1-p-q$) tiramos de nuevo.

¿Cuál es la probabilidad de que 1 se produce antes de las 2? Llame a esta probabilidad $r$.

Ahora $r = P(\text {1 before 2}) = P(\text{1 before 2} | \text{first experiment event 1})P(\text{first experiment event 1}) + P(\text{1 before 2} | \text{first experiment event 2})P(\text{first experiment event 2}) + P(\text{1 before 2} | \text{first experiment not event 1 or event 2})P(\text{first experiment not event 1 or event 2})$.

Ahora esto es igual a $1 \cdot p + 0 \cdot q + r(1-p-q)$, porque si el evento 1 se produce en el primer experimento, seguramente tenemos que 1 se produce antes de las 2, y si el caso 2 se produce, ciertamente no es el caso que 1 se produce antes de las 2, y si no se produce, por la independencia de los experimentos que hemos probabilidad de $r$ más, a medida que empezar de nuevo fresco.

Por lo $r = p + r(1-p-q)$, lo $(p+q)r = p$ o $r = \frac{p}{p+q}$.

Del mismo modo podemos razón por la que $P(\text {2 before 1}) = \frac{q}{p+q}$ y tenga en cuenta que estos sumar 1. Así que uno de ellos pasa, y las posibilidades son en proporción a sus respectivas probabilidades de éxito $p$$q$.

En su caso $p = \frac{2}{16}, q = \frac{4}{16}$, con lo que conseguimos $\frac{1}{3}$ que suma 3 se produce antes de la suma de 5 y $\frac{2}{3}$ para la otra manera alrededor.

Answer 3

$$ \a la izquierda.\begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}\right. $$ Es fácil decirle a distintas probabilidades de los resultados de este experimento utilizando la tabla de arriba. Por ejemplo, la probabilidad de que se obtenga $5$ en un solo rollo es igual a $4/16=1/4$.

Supongamos que hacemos rodar los dados hasta que consiga $3$ o $5$. La probabilidad de que eventualmente se llega bien $3$ o $5$ está dado por $$ \frac38+\frac58\cdot\frac38+\biggl(\frac58\biggr)^2\cdot\frac38+\ldots=\frac38\sum_{n=0}^\infty\biggl(\frac58\biggr)^n=\frac38\frac83=1 $$ el uso de la independencia y la serie geométrica (que podamos $3$ o $5$ en el primer rollo, en la segunda tirada, etc.). Por lo que este evento ocurre casi seguramente, es decir, eventualmente se llega bien $3$ o $5$. La pregunta es qué vamos a hacer en primer lugar.

Por lo tanto, la probabilidad de que una suma de $3$ es hecho rodar antes de una suma de $5$ es $$ \frac18\sum_{n=0}^\infty\biggl(\frac58\biggr)^n=\frac18\cdot\frac83=\frac13. $$

Answer 4

Cuando usted está lanzando los dados, tres resultados que puede suceder:

• Rollo de una suma de tres (P = $\frac{1}{8}$)
• Rollo de una suma de cinco (P = $\frac{2}{8}$)
• Rollo algo más (P = $\frac{5}{8}$)

Con los dos primeros resultados, haya terminado de rodar, pero con su tercer resultado, usted tiene que rodar de nuevo. Las probabilidades son independientes, de modo que usted puede poner juntos una ecuación que modela esta muy bien. La probabilidad de que un 3-primera suma es igual a lo que yo he calculado por encima plus esta misma probabilidad veces la probabilidad de obtener algo más:

$P(3 first) = P(3) + P(not 3 and not 5)*P(3 first)$

$P = \frac{1}{8} + \frac{5}{8}P$

$P = \frac{1}{3}$

Answer 5

Una forma de utilizar probabilidades condicionales es pensar sobre lo que iba a suceder si se trató de los dados-rolling experimento como se describe. ¿Cómo se sabe suma que se produjo por primera vez?

Tendría que tirar los dados hasta que una de las sumas que se produjo y, a continuación, ver cuál era.

En otras palabras, si $A$ es el evento de que la suma es $3$, y $B$ es el evento de que la suma es $5$, entonces usted debe esperar la primera aparición de $A \cup B$ y decidir cual de $A$ o $B$ ocurrió.

Mirando hacia adelante a este experimento, no sé cómo será pero usted sabe que va a terminar con el evento $A \cup B$. Si el evento $A$ también se produce en ese momento, luego de una $3$ fue rodada en primer lugar. Así que, ¿cómo se escribe la probabilidad de que $A$ se ha producido cuando se sabe que $A \cup B$ se ha producido, y ¿cómo se puede calcular que la probabilidad?