¿Cómo funciona la regla de la cadena para más de una variable?

Question

Sé que ese % $ $$\dfrac{d\sqrt{x}}{dt} = \dfrac{d\sqrt{x}}{dx} \dfrac{dx}{dt}$

En esta ecuación hay sólo tienes 1 variable, es decir, $x$.

Pero ¿por qué es correcta la siguiente?:

$$T = \frac{1}{2} m \left(v{x}^2 + v{y}^2 + v_{z}^2 \right)$$

$$\dfrac{dT}{dt} = m \left( v{x} \dfrac{dv{x}}{dt} + v{y} \dfrac{dv{y}}{dt} + v{z} \dfrac{dv{z}}{dt} \right)$$

¿Cómo se utiliza la regla de la cadena con estas 3 variables y cuál es la prueba matemática de?

Answer 1

$v_x,v_y,v_z$ , estas son las tres variables dependientes. Sólo hay una variable independiente $t$. De hecho, $v_x$ es una función tanto de la posición $x$ y el tiempo de $t$, pero la posición $x$ es en sí misma una función de $t$, por lo que todos los componentes de $v$ son sólo una función de $t$.

Si había alguna otra variable independiente $t'$, a continuación, nos habla de las derivadas parciales y la multivariable regla de la cadena.

Acerca de la prueba: la prueba usual de la regla de la cadena es válida. $v_x$ es sólo una función de $t$. Puede haber algunas otras funciones de $t$ como aceleración, pero la regla de la cadena es válida todavía.