$6n\pm 1$ cubiertas cíclicas de $S^3$ ramificado sobre el trébol.

Question

Estas preguntas son en realidad el ejercicio 10D4 de Nudos y Enlaces de Rolfsen. En el ejemplo 8D7 Rolfsen calcula una matriz de presentación para $\Sigma _n$ la cubierta cíclica de n pliegues de $S^3$ ramificado sobre el trébol. Es entonces evidente que el $6n\pm 1$ Las cubiertas cíclicas son esferas de homología. Intento distinguir estas esferas de homología, y luego mostrar que incluso sus tipos de homotopía difieren.

Utilizando maniobras de cirugía estándar, he demostrado que todas estas esferas de homología resultan de una $-1/m$ cirugía a lo largo del trébol, donde $0 \not= m\in \mathbb{Z}$ . Llamamos al colector resultante de dicha cirugía $X_m$ . Siguiendo los métodos de la sección, he calculado que $\pi _1 (X_m) = \langle x,z\ |\ x^{3m+1} = (z^3x^{-3})^m,\ (zx)^2 = z^3 \rangle$ . Tengo bastante confianza en esta presentación, ya que el ajuste $m=-1$ resulta en el grupo binario icosaédrico, el grupo fundamental de la esfera de homología de Poincare, como debe ser. El último paso sería demostrar que estos grupos son realmente diferentes para distintos valores de $m$ No sé qué hacer ¿Alguna idea?

Además, ¿hay algún teorema que afirme algo sobre diferentes cirugías en un nudo no trivial que den lugar a diferentes variedades?

Answer 1

Todas estas cubiertas ramificadas tienen grupos fundamentales distintos. Esto se demuestra en el teorema 9.7 de Cannon, Floyd, Lambert, Parry y Purcell, "Bitwist manifolds and two-bridge knots".

http://arxiv.org/pdf/1306.4564v1.pdf

Como puedes ver ahí, la prueba es autocontenida y bastante sencilla. El truco está en mirar el grupo módulo de su centro. El cociente es un cierto grupo triangular $\Delta(2,3,k)$ , donde $k = 6n \pm 1$ en su notación. El mayor orden de un elemento de torsión en $\Delta(2,3,k)$ es $k$ que muestra que los grupos son todos distintos.

En cuanto a su pregunta sobre las diferentes cirugías de un nudo: es una pregunta difícil en general. Existen herramientas procedentes de la geometría hiperbólica y de la teoría de Heegaard Floer.