Esto se hace mucho más clara una vez que usted es cuidadoso para distinguir entre local y global extrema.
Un mínimo global (respectivamente máxima) de $f$ es un punto de $x$ tal que para todos los demás $y$ en el dominio de $f$, $f(x) \leq f(y)$ (respectivamente, $f(x) \geq f(y)$ para un máximo global).
Un local mínimo (máximo) de $f$ es un punto de $x$ tal que para todos los demás $y$ en una pequeña (no vacío) intervalo de $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ alrededor $x$, $f(x) \leq f(y)$ (respectivamente, $f(x) \geq f(y)$ para un máximo global). Estamos de acuerdo en que simplemente ignorar $y \in (x-\epsilon,x+\epsilon)$ que $f$ no está definido aquí.
Si $f$ es diferenciable en a $[a,b]$, entonces se tiene que
Un punto de $x \in [a,b]$ es un extremo local si $$
f'(x) = f"(x) = \ldots = f^{(n)}(x) = 0, \, f^{(n+1)}(x) \neq 0 \text{ por alguna extraña $n > 0$,}
$$
donde $f^{(k)}$ indica el $k$-ésima derivada de $f$ (o unilateral derivado de la si $x$ es un extremo). Si no distinto de cero derivado existen para algunos $x$, este criterio no es concluyente. Si $f^{(n+1)}(x) > 0$, $x$ es un mínimo local, de lo contrario $x$ es un máximo local.
Un enpoint $x \in \{a,b\}$ es, además, un local de extremo si $$
f'(x) = f"(x) = \ldots = f^{(n)}(x) = 0, \, f^{(n+1)}(x) \neq 0 \text{ para algunos, incluso,$n \geq 0$,}
$$
es decir, podemos soltar el requisito de que $n$ es extraño aquí, porque no desea o no necesita excluir puntos de silla. El punto de inicio de la $x=a$ es un mínimo local si $f^{(n+1)}(a) > 0$ y un máximo local si $f^{(n+1)}(a) < 0$, mientras que para el punto final $x=b$, las condiciones son a la inversa.
En ambos casos, si $f$ no es lo suficientemente suave para encontrar un no-cero de la derivada, es decir, si todos los existentes derivados son cero, estas condiciones no son concluyentes.
Estas condiciones de identificar correctamente los extremos de $x^k$$[0,1]$$[-1,0]$$x=0$. El primer no-cero derivado de la $x^k$ $k$- ésima derivada, que es $k!$. Por lo tanto, $n+1=k$, y así nos encontramos con que para , incluso, $k$ (es decir, impar $n$), $0$ siempre es mínimo local, mientras que para los impares $k$, $0$ es un mínimo local en a$[0,1]$, pero un local maxinum en $[-1,0]$.
Libro 1 de la declaración de que un punto es un (local, supongo) extremo de extrema si la cara derivada es distinta de cero, es cierto, pero incompleto con estas definición. Tomemos, por ejemplo, $f(x) = x^4$ en $[0,1]$. $x=0$ es, obviamente, un mínimo local - incluso global mínimo de $x \to x^4$ en toda la recta real!. Sin embargo, $f'(0) = 0$ es igual a cero, lo mismo que$f''(0)$$f'''(0)$. Pero $f^{(4)}(0) = 4! > 0$, lo que indica que $0$ es mínimo local.
Libro 4 de la declaración en la que cada estación está automáticamente un local extremem está mal con estas definición. Tomemos, por ejemplo, $f(x) = x^3\sin \frac{1}{x}$ $x \in (0,1]$, $f(0) = 0$. Ha $f'(x) = -x\cos \frac{1}{x} + 3x^2\sin \frac{1}{x}$, lo $f'(0) = 0$. Sin embargo, cada intervalo de $[0,\epsilon)$ contiene puntos donde $f$ es positivo, así como el punto donde $f$ es negativo, por lo $x=$ no es un extremo local. Tenga en cuenta que $f''(x)$ no existe en $x=0$, por lo que las condiciones anteriores no son concluyentes acerca de si $x=0$ es un local extremem o no, lo cual es consistente con el hecho de que no lo es.
Para su función $f(x) = (x - 1)^2$, $x \in [0,3]$ usted tiene $f'(x) = 2x - 2$, $f''(x) = 2$, así que si aplicamos la definición de estos encontramos
- Por (1), el uso de $n=1$,$f^{(n)}(1)=f'(1)=0$$f^{(n+1)}(1) = f''(1) = 2$, lo $x$ es un mínimo local.
- Por (2), el uso de $n=0$,$f^{(n+1)}(0) = f'(0) = -2 < 0$, es decir, el punto de inicio de la $0$ es un máximo local.
- Por (2), el uso de $n=0$,$f^{(n+1)}(3) = f'(3) = 4 > 0$, es decir, el punto final de la $3$ es un máximo local.
