Series de potencia para evaluar una integral definida de $f(x)=\frac1{1+x^7}$

Question

Encuentra una expansión en serie de potencias de la función $f(x)=\dfrac1{1+x^7}$ sobre $x=0$ . Utilícelo para evaluar $\int_0^1 \dfrac1{1+x^7} dx$ . Tu respuesta debe expresarse en forma de serie numérica (una serie, pero no una serie de potencias).

Así que tengo esta pregunta aquí. He encontrado la representación de la serie de potencia que es:

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{7n}$$

Así que me integraría:

$$\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{7n} \, dx$$

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^1 x^{7n} \, dx$$

Lo cual me parece correcto.

Sin embargo, ¿qué significa que "la respuesta debe expresarse en forma de serie numérica (una serie, pero no una serie de potencias)"? ¿Hay alguna expresión de forma cerrada en la que tenga que representar la integral como?

Answer 1

Utiliza el hecho de que la integral es una integral definida. $$\int_0^1{}x^{7n}dx = \frac{1}{7n+1}$$

Por lo tanto, la suma es igual a $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{7n+1}$$