Crear función impar a partir de función arbitraria

Question

Tengo un producto de dos funciones arbitrarias $f$ y $g$, $$y(x) = f(x)g(x)$$ y quiero hacer que el producto $y$ sea impar. Conozco $f$, por ejemplo, es una función Lorentziana típica $$f(x) = \dfrac{b}{(x-a)+b^2},$$ pero quiero deducir $g.

¿Qué estrategia puedo utilizar para encontrar $g$?

Contexto: Quiero comenzar asumiendo que estas funciones son bien comportadas, definidas en el espacio real y diferenciables en todas partes. ¿Cómo puedo encontrar $g$ para que el producto $fg$ se convierta en una función impar? Entonces, mi objetivo es hacer que $f$ sea más compleja (por ejemplo, multiplicando la Lorentziana anterior con la distribución discontinua de Bose-Einstein, por ejemplo) y luego ver si aún es posible hacer que $fg$ sea una función impar.

Esta referencia resume funciones pares/impares pero no la encontré muy útil para mi problema.

Answer 1

Bueno, por supuesto, hay muchas opciones aquí. La opción más simple, pero insatisfactoria, sería hacer que $g$ sea $\frac{1}{f(x)}x$, para que $y$ sea simplemente $x. Lo que ese ejemplo demuestra es que hay demasiado poca información aquí para determinar un $g$ específico.

Pero una opción que podría ser más satisfactoria sería tomar $g(x) = xf(-x)$. Esto tiene la ventaja de conservar algo del "carácter" de $f$, pero sin saber más sobre tu objetivo aquí no puedo decir si esto es lo que estás buscando.

Answer 2

Las funciones impares y pares se comportan exactamente de la misma manera bajo la multiplicación como los números impares y pares (de ahí la terminología). En particular,

• una función impar multiplicada por una función impar es par
• una función par multiplicada por una función par es par
• una función impar multiplicada por una función par es impar

Puede ser útil saber un poco más sobre la función $f$. Si es una función Lorentziana centrada en cero, entonces es par, y cualquier función impar $g$ será suficiente para hacer que $y$ sea impar. Si nunca toma el valor cero, entonces podemos tomar $g$ como $1/f$ multiplicado por cualquier función impar. Trivialmente siempre podemos tomar $g = 0$ y $y$ será impar (y, incidentamente, par).

Answer 3

Deja que $e(x) = \frac{1}{2}(f(x) + f(-x))$ y escribe $$ o(x) = f(x) - e(x) \text{.} $$ Es decir, deja que $e$ sea la parte par de $f$ y $o$ sea la parte impar de $f.

Luego deja que $g(x) = \frac{o(x)}{f(x)}$ de manera que $y(x) = f(x) \frac{o(x)}{f(x)}$. Esto es indefinido en cualquier parte donde $f$ es cero, pero $f(x) = \frac{b}{(x-a)^2+b^2}$ (lo cual difiere únicamente de la distribución Cauchy/Lorentzian por un factor de normalización) siempre es positiva, siempre y cuando $b \neq 0$ (lo cual parece probable).

Siguiendo la prescripción anterior, $$ o(x) = \frac{2 a b x}{a^4 + 2a^2(b-x)(b+x) + (b^2 + x^2)^2} $$ y $$ g(x) = \frac{2 a x}{b^2 + (x+a)^2} \text{.}

Como otros han señalado, hay muchas otras formas de seleccionar $g$, pero esta selecciona una propiedad intrínseca de $f$ (su parte impar), por lo que puede capturar alguna otra propiedad que deseas pero no has especificado.

Answer 4

¿Qué tal si aplicamos lo siguiente,

\begin{align} f_o(x) &=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\\ f_e(x) &=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \end{align}