La suma infinita de una función analítica sigue siendo analítica

Question

Considere $$ f_n(x) = n e^{-n^6(x-n)^2} : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$$ y la serie $$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x). $$ Es $f$ analítica sobre $\mathbb R$ ?

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Una función es analítica si para todo conjunto compacto $K$ podemos encontrar $C$ s.t. el $k$ -La derivada de la primera puede ser acotada como $$|f^{(k)}(x) | \leq C^{k+1} k! \quad \forall x \in K.$$ De la forma de $f_n$ sabemos que $f^{(k)}$ será una serie de un polinomio de grado $k$ veces $f_n$ . Sin embargo, me resulta difícil estimar realmente $|f^{(k)}(x) |$ según sea necesario...

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Otro intento: ya que $f_n$ es analítica podemos escribir $f_n(x) = \sum_k a_{k,n} x^k $ así que $$ f(x) = \sum_n \sum_k a_{k,n} x^k.$$ Ahora si cambiamos las sumas obtenemos $$ f(x) = \sum_k \left( \sum_n a_{k,n} \right) x^k. $$ Pero podemos cambiar la suma, y es cierto que $\forall k, \sum_n a_{k,n} < \infty$ ?

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Alguna sugerencia o forma más rápida de probar que $f$ ¿es analítico?

Answer 1

Muy a menudo, la forma más rápida o conveniente de demostrar que una función $h \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es (real-)analítico es extender el problema a un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ utilizando el hecho de que una función es real-analítica en algún intervalo si y sólo si es la restricción de una función holomorfa definida en una vecindad abierta de ese intervalo en $\mathbb{C}$ .

Aquí tenemos funciones enteras $f_n \colon z \mapsto n e^{-n^6(z-n)^2}$ y una vez que hemos demostrado que la serie

$$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)\tag{$ \N - El brindis $}$$

converge localmente de manera uniforme, se deduce que

$$f(z) = \sum_{n=1}^\infty f_n(z)$$

es una función entera, y por tanto su restricción a $\mathbb{R}$ es real-analítica (y además, que las expansiones de la serie de potencias sobre cualquier $r\in\mathbb{R}$ convergen en todos los $\mathbb{R}$ ).

El punto crucial es que el límite localmente uniforme de las funciones holomorfas es de nuevo holomorfo. El teorema de aproximación de Weierstraß muestra que no tenemos una propiedad correspondiente para las funciones analíticas reales.

Así que veamos si podemos demostrar que la serie $(\ast)$ es localmente convergente de manera uniforme.

Para cualquier compacto $K \subset \mathbb{C}$ Hay un $N\in \mathbb{N}$ tal que $\lvert \operatorname{Re} z\rvert \leqslant N$ y $\lvert\operatorname{Im} z\rvert \leqslant N$ para todos $z\in K$ . Entonces, para $n \geqslant 2N+1$ y $z\in K$ tenemos

$$\operatorname{Re}\bigl( (z-n)^2\bigr) = (\operatorname{Re} z - n)^2 - (\operatorname{Im} z)^2 \geqslant (n-N)^2 - N^2 \geqslant (N+1)^2 - N^2 = 2N+1 \geqslant 1,$$

y por lo tanto

$$\lvert f_n(z)\rvert = n \exp\Bigl(-n^6\operatorname{Re} \bigl((z-n)^2\bigr)\Bigr) \leqslant n e^{-n^6} \leqslant n e^{-n}$$

en $K$ para $n \geqslant 2N+1$ . Desde

$$\sum_{n=1}^\infty n e^{-n} < \infty,$$

se deduce que $(\ast)$ converge uniformemente en $K$ . Desde $K$ era un subconjunto compacto arbitrario de $\mathbb{C}$ la serie converge localmente de manera uniforme, y por lo tanto

$$f(z) = \sum_{n=1}^\infty f_n(z)$$

es una función entera, y su restricción a $\mathbb{R}$ es real-analítica.