La inmersión plana cerrada en un esquema noetheriano está abierta

Question

Deje $X$ ser una irreductible Noetherian esquema. A considerar algunos de los planos cerrados de inmersión en ella. Quiero mostrar que también es abierto, por lo que los morfismos es surjective.

Tengo un par de ideas, pero me parece que no puede terminar. La fijación de algunos afín gráfico, tenemos un mapa

$$\operatorname{Spec} A/I \rightarrow \operatorname{Spec} A.$$

Asociado a ello tenemos un anillo de mapa de $A \rightarrow A/I$. Es plana en cada una de las prime ideal por hipótesis, por lo que es plana. Se puede demostrar que esto implica que $I=I^2$, y el uso de Nakayama del lema vemos que $I=eA$ algunos $e$$e^2=e$. También se puede demostrar que $A=(1-e)A\oplus eA$.

¿Por qué hace esto implica que el mapa está abierto? Y ¿este resultado si debilitamos la hipótesis de modo que $X$ es sólo supone ser localmente Noetherian?

Answer 1

$X$ no necesita ser irreductible. Puede eliminar la condición noetheriana si asume que la inmersión cerrada es de presentación finita. Luego, obtienes la igualdad$A = (e) + (1-e)$ como dijiste. Ahora es inmediato que$V(I) = V(e) = D(1-e)$ está abierto.