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¿Qué significa para el determinante de $A^T A$ sea igual a cero?

¿Hay alguna declaración que sea equivalente a $\det(A^T A)=0$ ?

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$\det(A^TA)\ne 0$ si $A$ es invertible a la izquierda si $A$ es de rango de columna completo ( $\ker A=0$ ).

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Studer Puntos 1050

El determinante de $A^TA$ igual a cero equivale a $A$ no es invertible.

De hecho, si $A^TA$ no es invertible, existe un $x$ con $A^TAx=0$ Así que $x^TA^TAx=0$ , lo que implica $Ax=0$ .

Por el contrario, si $Ax=0$ para el caso de que sea distinto de cero $x$ entonces $A^TAx=0$ Así que $A^TA$ no es invertible.

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Lo sé. Ya lo había editado.

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Eliot Bolduc Puntos 71

Al menos un valor propio de $A^{T}A$ es igual a cero.

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Bernard Puntos 34415

Si $A$ es una matriz cuadrada, ya que $\;\det {}^{\mathrm t\!}A=\det A$ , $$\det(^{\mathrm t\!}AA)=(\det A)^2=0\iff \det A=0\iff A\enspace\text{is singular}. $$

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¿Qué es? $\det(A)$ para una matriz no cuadrada $A$ como $(1,0)^T$ ?

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¡Uy! Supuse implícitamente que era una matriz cuadrada. Borraré mi respuesta.

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No es necesario borrarlo.

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A.G. Puntos 7303

Desde $\ker(A^TA)=\ker(A)$ tenemos directamente que

$\det(A^TA)=0$ si $\ker(A)$ no es trivial.

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