¿Qué significa para el determinante de $A^T A$ sea igual a cero?

Question

¿Hay alguna declaración que sea equivalente a $\det(A^T A)=0$ ?

Answer 1

El determinante de $A^TA$ igual a cero equivale a $A$ no es invertible.

De hecho, si $A^TA$ no es invertible, existe un $x$ con $A^TAx=0$ Así que $x^TA^TAx=0$ , lo que implica $Ax=0$ .

Por el contrario, si $Ax=0$ para el caso de que sea distinto de cero $x$ entonces $A^TAx=0$ Así que $A^TA$ no es invertible.

Answer 2

Al menos un valor propio de $A^{T}A$ es igual a cero.

Answer 3

Si $A$ es una matriz cuadrada, ya que $\;\det {}^{\mathrm t\!}A=\det A$ , $$\det(^{\mathrm t\!}AA)=(\det A)^2=0\iff \det A=0\iff A\enspace\text{is singular}.$$

Answer 4

Desde $\ker(A^TA)=\ker(A)$ tenemos directamente que

$\det(A^TA)=0$ si $\ker(A)$ no es trivial.