Me encontré con el siguiente problema en un libro. Cuatro números reales$p,q,r,s$ satisfacen$p+q+r+s=9$ y$p^2+q^2+r^2+s^2=21$. Demuestre que hay una permutación$a,b,c,d$ de$p,q,r,s$ Tal que$ab-cd\ge 2$. Primero ordené$p\ge q\ge r\ge s$. Un resultado inmediato es$pq+pr+ps+qr+qs+rs=30$. Sabemos que$$(p^2+r^2)(q^2+s^2)=(pq-rs)^2+(ps+qr)^2$$ Now $ p \ ge q$ and $ r \ ge s$. Therefore $ p ^ 2 + q ^ 2 \ ge r ^ 2 + s ^ 2 $. ¿Qué debo hacer después de esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
usa ese$$2(x^{2}+y^{2})=(x+y)^{2}+(x-y)^{2}$ $. entonces
PS
esto implica que$$\Longrightarrow 84=4(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2})=(p+q+r+s)^{2}+(p+q-r-s)^{2}+(p+r-q-s)^{2}+(p+s-q-r)^{2}$ $ entonces
PS
Supongamos wlog que$$\Longrightarrow (p+q-r-s)^{2}+(p+r-q-s)^{2}+(p+s-q-r)^{2}=3$, entonces esto implica que
$$\max\{|p+q-r-s|,|p+r-q-s|,|p+s-q-r|\}\geq 1$ o$|p+q-r-s|\geq 1$
el primer caso implica que$2(p+q)-9=p+q-r-s\geq 1$, mientras que el segundo que$2(r+s)-9=r+s-p-q\geq 1$. Supongamos wlog que$p+q\geq 5$
luego,$r+s\geq 5$$p+q\geq 5$$$\Longrightarrow 21+2(pq-rs)=(p+q)^{2}+(r-s)^{2}\geq 25$ $
