La convergencia de$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\left(\log(x)\right)^{4\alpha}}\sin^2\left(\frac{1}{x^{\alpha}}\right)\,dx$

Question

El estudio de la convergencia de las siguientes integrales como $\alpha >0$

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\left(\log(x)\right)^{4\alpha}}\sin^2\left(\frac{1}{x^{\alpha}}\right)\,dx$$

Tenemos para el estudio de la función en los barrios de $0$, $1$ y $+\infty$

Como $x\to +\infty$ tenemos $f(x) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^{2\alpha}\log^{4\alpha}(x)}\right)$, que converge como $\alpha>=\frac{1}{2}$

Cómo manejar esta función en los barrios de $0$$1$? En el primer caso podría Abel-Dirichlet trabajo? No estoy seguro de que $\sin^2\left(\frac{1}{x}\right)$ tiene una limitada primitivo

Answer 1

Observar que, como $x \to 1$, $$ \frac{1}{\left(\log(x)\right)^{4\alpha}} \sim \frac{1}{\left(1-x\right)^{4\alpha}} $$ dando una convergencia de la integral de la fib $$ \alpha < \frac14 $$ que está en contradicción con $$ \alpha \ge \frac12. $ De$ la integral dada nunca converge.