Integración del Polinomio de Legendre

Question

Necesito evaluar la siguiente integral $$\begin{equation} \int_{-1}^1 \frac{d^4P_l(x)}{dx^4}P_n(x)dx\end{equation}$$ . Por supuesto, la respuesta que necesito es en términos de $l$ y $n$. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Los hechos a continuación deberían permitirte calcular la integral en cuestión en términos de $l$ y $n:

• Los polinomios de Legendre $P_0, \dots, P_n$ forman una base para el espacio de polinomios de grado a lo sumo $n$.

• Los polinomios de Legendre son ortogonales: $$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}$$

• $\dfrac{d^4P_l(x)}{dx^4}$ es un polinomio de grado $l-4$ si $l\ge 4$ o el polinomio cero de lo contrario.

Answer 2

Denotemos $$\mathcal{I}_{l,n}:=\int_{-1}^1P_l^{(4)}(x)P_n(x)\,dx.$$

Si $l\leq n+3$, entonces $P_l^{(4)}(x)$ es un polinomio de grado a lo sumo $n-1$ y $\mathcal{I}_{l,n}$ se anula debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre. También se anula cuando $n$ y $l$ tienen paridad diferente. Por lo tanto, a continuación se asumirá que $l\geq n+4$ y $l=n\;\operatorname{mod}\;2$.

Integrando por partes, podemos reescribir la integral como $$\int_{-1}^1P_l(x)P_n^{(4)}(x)\,dx+\text{términos de frontera}.$$ El mismo argumento que arriba muestra que la integral en esta expresión se anula para $l\geq n+5$, y por lo tanto la respuesta está completamente determinada por los términos de frontera: \begin{align} \nonumber\mathcal{I_{l,n}}&=\left[\color{red}{P_l^{(3)}(x)P_n(x)}-\color{blue}{P_l^{(2)}(x)P_n^{(1)}(x)}+\color{green}{P_l^{(1)}(x)P_n^{(2)}(x)}-\color{magenta}{P_l(x)P_n^{(3)}(x)}\right]\biggl|_{-1}^{\;1}=\\ \nonumber&=\color{red}{\frac{l(l+3)\left(l^2-1\right)\left(l^2-4\right)}{24}}- \color{blue}{\frac{l(l+2)\left(l^2-1\right)n(n+1)}{8}}+\\ \nonumber&\;+\color{green}{\frac{l(l+1)n(n+2)\left(n^2-1\right)}{8}}- \color{magenta}{\frac{n(n+3)\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)}{24}}=\\ &=\frac{\left(l-n\right)\left(\left(l+n\right)^2-1\right) \left(\left(l-n\right)^2-4\right)(l+n+3)}{24}.\tag{$\spadesuit$} \end{align> Por lo tanto, el único caso restante a considerar es $l=n+4$. Aquí la respuesta puede calcularse usando la fórmula de Rodrigues. Reemplazando las expresiones para los polinomios de Legendre en la integral inicial e integrando por partes, obtenemos $$\mathcal{I}_{n+4,n}=2(2n+3)(2n+5)(2n+7).$$ Pero esto es compatible con el resultado anterior ($\spadesuit$), que por lo tanto puede ser utilizado para todos los $l\geq n+4$.

Answer 3

Permítanme ver si puedo dar una solución. La relación de ortogonalidad para los polinomios de Gegenbauer es $$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{m,n}.$$ El operador de desplazamiento hacia adelante para los polinomios de Jacobi, por ejemplo, http://homepage.tudelft.nl/11r49/askey/ch1/par8/par8.html, es dado por $$\frac{d}{dx} P_m^{(\alpha,\beta)}(x) = \frac{n+\alpha+\beta+1}{2} P_{m-1}^{(\alpha+1,\beta+1)}(x).$$ Nótese que los polinomios de Gegenbauer son polinomios de Jacobi donde $\alpha = \beta = 0$. Los coeficientes de conexión para los polinomios de Jacobi son $$P_n^{(\gamma,\delta)}(x) = \sum_{k=0}^n c_{n,k}(\gamma,\delta;\alpha,\beta) P_k^{(\alpha,\beta)}(x),$$ donde $$\begin{equation*} \begin{split} c_{n,k}(\gamma,\delta;\alpha,\beta) &= \frac{ (\gamma+k+1)_{n-k} (n+\gamma+\delta+1)_k }{ (n-k)! \Gamma(\alpha+\beta+2k+1) } \Gamma(\alpha+\beta+k+1) \\ &\times {}_3 F_2(-n+k, n+k+\gamma+\delta+1, \alpha+k+1; \gamma+k+1, \alpha+\beta+2k+2; 1). \end{split} \end{equation*}$$ Por lo tanto \begin{equation*} $$\begin{split} \frac{d^4}{dx^4} P_{\ell}^{(0,0)} &= \frac{(\ell-2)_4}{2^4} P_{\ell-4}^{(4,4)}(x) = \frac{(\ell-2)_4}{2^4} \sum_{k=0}^{\ell-4} c_{\ell-4,k}(4,4;0,0) P_k^{(0,0)}(x). \end{split}$$ \end{equation*> Según la relación de ortogonalidad tenemos \begin{equation*} \int_{-1}^{1} \frac{d^4}{dx^4} P_{\ell}(x) P_n(x) dx = \frac{(\ell-2)_4}{2^3 (2n+1)} c_{\ell-4,n}(4,4;0,0). \end{equation*> Nótese que el coeficiente de conexión se puede encontrar en Ismail, Polinomios Ortogonales Clásicos y Cuánticos y que los coeficientes de conexión probablemente se pueden simplificar mucho. Espero no dividir por cero en algún lugar para que tenga que interpretarlo formalmente. Así que la última parte es tarea. ;)