Mostrar $\int_0^\infty \frac{e^{-x}-e^{-xt}}{x}dx = \ln(t),$ para $t \gt 0$

Question

El problema es mostrar

$$\int_0^\infty \frac{e^{-x}-e^{-xt}}{x}dx = \ln(t),$$

para $t \gt 0$ .

Estoy bastante atascado. He pensado en la integración por partes y no he conseguido nada con el integrando en su forma actual. He intentado una sustitución $u=e^{-x}$ y llegó a una nueva integral (esperemos que no haya errores)

$$ \int_0^1 \frac{u^{t-1}-1}{\log(u)}du, $$

pero esto tampoco parece ayudar. Espero poder tener una pista en la dirección correcta... Realmente quiero resolver la mayor parte por mí mismo.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejemos que $$I(t) = \int_0^\infty \dfrac{\exp(-x) - \exp(-xt)}{x} \, dx$$ Entonces $$\dfrac{dI}{dt} = \int_0^{\infty} \exp(-xt) \, dx = \left. \dfrac{\exp(-xt)}{-t} \right \vert_0^\infty = \dfrac1t$$ Por lo tanto, $$I(t) = \ln(t) + c$$ Pero $$I(1) = \int_0^\infty \dfrac{\exp(-x) - \exp(-x)}{x} \, dx = \int_0^\infty 0 \, dx = 0 \implies c =0$$ Por lo tanto, $$I(t) = \ln(t)$$

Answer 2

Una pista: $\frac{e^{-x}-e^{-xt}}{x} = \int\limits_{1}^{t}{e^{-xs}\text{ d}s}.$

Answer 3

Dejemos que $\displaystyle F(t) = \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-x} - e^{-xt}}{x} dx$

1. Demostrar que $\displaystyle \dfrac{dF}{dt} = \dfrac{d}{dt}\left( \int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-x}-e^{-xt}}{x}dx \right)= \int_{0}^{\infty} \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{e^{-x}-e^{-xt}}{x} \right) dx = \dfrac{1}{t}$

2. Demuestra que $F(1)=0$ (la parte fácil)

3. $F(t)$ satisface la EDO $\dfrac{dF}{dt} = \dfrac{1}{t}$ con la condición inicial $F(1)=0$ (y $log(t)$ también, por lo que son iguales)

Answer 4

Obsérvese que la transformada de Laplace $$L[1]=\int e^{-st}dt=\frac{1}{s}$$ Ahora, tenemos $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-xt}}{x}dx$$ $$=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xt}}{x}dx$$ $$=\int_{1}^{\infty}L[1]dx-\int_{t}^{\infty}L[1]dx$$ $$=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx-\int_{t}^{\infty}\frac{1}{x}dx$$ $$=[\ln |x|]_{1}^{\infty}-[\ln |x|]_{t}^{\infty}$$ $$=\lim_{x\to \infty}\ln|x|-\ln 1-(\lim_{x\to \infty}\ln|x|-\ln |t|)$$

$$=\lim_{x\to \infty}\ln|x|-0-\lim_{x\to \infty}\ln|x|+\ln |t|$$

$$=\ln |t|$$$$ =\ln(t) \N - para todo \N - t>0$$

Answer 5

Este es un método que utiliza la transformada de Laplace.

Fijar el positivo $a,b$ y definir la función $\displaystyle f(x) = \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x}$ .

Dejemos que $g(s) = $ Transformada de Laplace de $f(x)$ . Considera, $$ L[ xf(x) ] = -g'(s) \implies L[ e^{-ax} - e^{-bx}] = -g'(s)$$

Así, encontramos que, $$ g'(s) = \frac{1}{s+a} - \frac{1}{s+b} \implies g(s) = \log \left( \frac{s+a}{s+b} \right) + c $$

Esta constante $c=0$ porque la regla de la transformación de Laplace $g(\infty) = 0$ .

Pero ahora recordemos que la transformada de Laplace de $f(x)$ incluso significa por definición, $$ \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \cdot e^{-sx} ~ dx = \log \left( \frac{s+a}{s+b} \right) $$

Set $s=0$ y obtener la respuesta. (Me acabo de dar cuenta de que me olvidé de incluir el signo negativo, pero me da pereza arreglarlo, así que hay que ajustar en consecuencia).