Es posible construir un campo más grande que el de los números complejos?

Question

Podemos extender los números complejos en ninguna manera tal que $\mathbb{C} \subset\mathbb{C}[a]$ ? O es $\mathbb{C}$ la extensión para acabar con todas las extensiones?

Answer 1

Dado cualquier campo, siempre podemos construir campos más grandes. Si nuestro campo no es algebraicamente cerrado, podemos lindan con nuevas raíces de polinomios, de lo contrario podemos lindan trascendental de los elementos (que es equivalente a la formación de un campo de funciones racionales). De hecho, cada extensión de campo es una extensión algebraica de una puramente trascendental de extensión.

(Como $\Bbb C$ es algebraicamente cerrado, no tiene extensiones algebraicas, por lo que no finito.)

En particular, $\Bbb C(T)$ (el campo de funciones racionales en la variable $T$ con coeficientes complejos) es mayor que $\Bbb C$ en el sentido de conjunto de la teoría de la inclusión. Sin embargo, la clausura algebraica tiene la misma cardinalidad como $\Bbb C$ sí, y por lo tanto es abstracta isomorfo a $\Bbb C$, lo que significa que existe una forma de incrustar $\Bbb C(T)$ dentro $\Bbb C$. Si queremos ir más en el sentido de cardinalidad, podemos formar el campo de los complejos-coeficiente de funciones racionales en $\kappa$-de muchas variables, donde $\kappa$ es un número cardinal mayor que el continuum $\mathfrak{c}=|\mathbb{C}|$. Este es sin duda más grande!

Nota que no es un sub-anillo del polinomio anillo de $\mathbb{C}[T]$ que es un campo y que estrictamente contenida $\Bbb C$ sí, por si había que podría contener algunos no constante $f(T)$, por lo tanto contener la nonpolynomial elemento $f(T)^{-1}$, lo cual es imposible en el interior de $\Bbb C[T]$.

Tenga en cuenta también que los campos de distintas características son incompatibles: campos de diferentes características nunca puede ser contenida dentro de un campo común. Así que no sólo no hay un campo para acabar con todos los campos, pero la "clase de todos los campos" sobresale en diferentes, mutuamente excluyentes direcciones (uno para cada uno de los prime, y el cero).

Answer 2

Otra forma: ultraproducts. El producto cartesiano de los campos $$P = {\Bbb C}\times{\Bbb C}\times\cdots$$ no es un campo porque tiene divisores de cero: $$(0,1,0,1,\cdots)(1,0,1,0\cdots)=(0,0,0,0,\cdots).$$ Pero un cociente será un campo. Vamos a ser $\mathcal U$un nonprincipal ultrafilter en $\Bbb N$. Definir $$(a_1,a_2,\cdots)\sim(b_1,b_2,\cdots)$$ cuando $$\{n\in\Bbb N\,\vert\, a_n=b_n\}\in\mathcal U.$$ El cociente $F = P/\sim$ es un campo estrictamente más grande (en el sentido de cardinalidad) de $\Bbb C$ y la inclusión $\Bbb C\longrightarrow F$ es...

Answer 3

Si $K$ es cualquier campo, el anillo de funciones racionales sobre $x$ es también un campo como es el anillo de formal Laurent de la serie sobre $K$. Así que no hay campo para acabar con todos los campos.