Es $G/N$ cíclico si $N$ es un subgrupo generado por a $(2,3)$?

Question

Me da $G=\mathbb{Z}_6 \oplus\mathbb{Z}_6$ y me dice que deje $N$ ser su cíclico generado por $(2,3)$.

Es el grupo de $G/N$ cíclico? Por qué? Y si es así, ¿cuál es su generador?

Así:

Puesto que el orden de $<2>$$\mathbb{Z}_6$$3$, y la orden de $<3>$$\mathbb{Z}_6$$2$, la orden de $(2,3)$$\mathbb{Z}_6 \oplus\mathbb{Z}_6$$6$.

Esto es donde estoy atascado. No estoy seguro de cómo averiguar si $\mathbb{Z}_6 \oplus\mathbb{Z}_6/<(2,3)>$ es cíclico. Conozco un grupo es cíclico si $G=< g >=\{g^{n}\mid n \in \mathbb(Z)\}$. También sé que tiene que ver con relativamente números primos, pero no puedo ver cómo poner juntos.

Gracias de antemano!

Answer 1

El cociente es un grupo abelian de orden $6$, que es necesariamente cíclico por la estructura fundamental teorema de finitely generado abelian grupos.

Answer 2

Usted ya demostró que el cociente grupo es de orden $6$, y como otros, señaló que el único grupo abelian de orden $6$ es el grupo cíclico.

Me gustaría proponer otro enfoque, que también trata su pregunta en el generador. Vamos a mostrar que la imagen bajo el estándar de la proyección de $(1,1)$ genera $G/N$. Esto es claro porque $$(n,n)=(2m,3m)\pmod 6$$ sólo si $n$ es un múltiplo de a $6$.

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Hay otra (mejor) manera de ver esto. Creo que de $\mathbb Z_6\oplus \mathbb Z_6$ $6\times 6$ cuadrícula. Dibujar la línea a través de$(2,3)$$(0,0)$, este es el grupo $N$. La línea generada por $(1,1)$ intersecta el $N$-línea sólo en $(0,0)$. (Nota: la línea debe tener $6$ puntos.)

Similar argumento como en álgebra lineal debe mostrar que el original $\mathbb Z_6\oplus \mathbb Z_6$ se descompone en la suma directa de $$\langle (2,3)\rangle \oplus \langle (1,1)\rangle.$$

Del mismo modo, uno puede encontrar todas las posibles $(k,l)$ de manera tal que su coset genera $G/N$. La respuesta es que la matriz de $$\left(\begin{array}{cc}2&k\\3&l\end{array}\right)$$ es invertible, es decir, tener invertible determinante.