No, incluso para los dominios de Dedekind, que son, en cierto sentido, el "más cercano" generalización de un PID, esto ya no es cierto. El problema es que, mientras que más de un PID de un módulo proyectivo iff es gratis, más de un dominio de Dedekind (y muchos otros tipos de anillos), hay proyectiva módulos que no son libres.
Para un ejemplo concreto, considerar el ideal de $I = \left(2, 1 + \sqrt{-5}\right)$$R = \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$. Uno puede mostrar que $I$ es proyectiva (es finitely generado y principal en la localización de la $R_P$ para cada uno de los prime ideal $P$) y tiene rango de $1$, pero no es la principal, por lo tanto no es libre. Así que usted no puede encontrar una descomposición de $I$ como en tu pregunta.
Sin embargo, no es una generalización del Teorema Fundamental de Finitely Generado los Módulos a través de un PID para los dominios de Dedekind. Ver Teorema $22$ $\S16.3$ en Dummit y Foote:
Teorema 22: Supongamos $M$ es un finitely módulo generado más de un dominio de Dedekind $R$. Deje $n \geq 0$ ser el rango de $M$ y deje $M_\text{tors}$ ser su torsión submódulo. Entonces
$$
M \cong \overbrace{R \oplus \cdots \oplus R \oplus I}^{n \text{ factores}} \oplus M_\text{.}
$$
para algunos ideales $I$$R$, y
$$
M_\text{.} \cong R/P_1^{e_1} \times \cdots \times R/P_s^{e_s}
$$
para algunos $s \geq 0$ y potencias de primer ideales $P_i$. Los ideales $P_i^{e_i}$ son únicos, y los ideales de la $I$ es único hasta la multiplicación por un director ideal.
