Deje $G$ ser un grupo finito y $H$ a un subgrupo cuyo índice es el primer a $p$. Supongamos $V$ es finito-dimensional representación de $G$ $\mathbb{F}_p$ cuya restricción a $H$ es semisimple. Demostrar que $V$ es semisimple.
Respuesta
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(La forma expandida de las respuestas de los comentarios.)
Un módulo es semisimple iff cada submódulo tiene un complemento directo.
Aschbacher Finito Grupo de Teoría en las páginas 39-40 demuestre que si U es un sub FG-módulo de V y U tiene un FP-módulo de complemento directo, entonces tiene un FG-módulo de complemento directo, donde P es un Sylow p-subgrupo de G. El argumento es un promedio argumento como se describe.
Puesto que H tiene el índice de coprime a p, H contiene un Sylow p-subgrupo P de G. Cada semisimple FH-módulo también es semisimple como un FP-módulo (o simplemente reemplazar n en Aschbacher prueba con $[G:P]$ y permitirle $P=H$ a cualquier subgrupo de índice coprime a p), y así Aschbacher el resultado de las respuestas a su pregunta.
La misma prueba se expresan en más de lenguaje complicado en las páginas 70, 71, y 72 de Benson Representaciones y Cohomology Parte 1.
Un módulo es llamado relativamente H-proyectiva si G-módulo homomorphisms que se dividen como H-módulo homomorphisms también dividir como G-módulo homomorphisms. En otras palabras, usted sólo desea mostrar que cada G-módulo es relativamente H-proyectiva al $[G:H]$ es invertible en el anillo, que es Corolario 3.6.9.
