Delimitada la variación problema

Question

Deje $x=0.a_1a_2\dots$ ser la expansión decimal de un número $x$, $0<x<1$. Si dos decimales expansiones de $x$ existen, la que termina con $0$'s de la toma. Para qué valores de a $q > 1$ es la función de variación acotada? \begin{align*} f_q(x) = \sum\limits_{k=1}^\infty q^{-k} a_k \end{align*}

No estoy seguro de cómo abordar este problema. Sé que si quiero mostrar una función, si no es de variación acotada debo encontrar una partición adecuada, pero no sé lo que la intuición me ayudará a encontrar uno para esta función. Agradezco todas las sugerencias. Gracias!

Answer 1

Para $1<q<10$, $f$ no es de variación acotada: observar que $f$ salta en cada una de las $x$ con ambigüedad decimal de expansión. Decir $x=0.a_1\ldots a_{n-1}10000\ldots$. Compare $f(x)$$f(y)$, donde $$ y=0.a_1\ldots a_{n-1}099\ldots 9000\ldots , $$ con una larga cadena de $9$'s. Entonces $$ f(x) - f(y) \q^{-n}\left( 1 - \frac{9}{q-1} \right) $$ como aumentar la longitud de este segmento. Desde allí $10^{n-1}$ segmentos inicial $a_1\ldots a_{n-1}$ que puede ir aquí, vemos que estos saltos contribuir $\gtrsim (10/q)^n$ a la variación total, y $f\notin BV$.

Para $q\ge 10$, $f$ es, de hecho, el aumento y por lo tanto BV. Si $x>y$ $n$ es el primer dígito donde el decimal expansiones de $x,y$ son diferentes, entonces basta observar que $$ \sum_{j>n} 9q^{j} = \frac{9}{q-1} p^{-n} \le p^{-n} . $$